#1 22. 12. 2021 09:49 — Editoval auditor (23. 12. 2021 08:12)
metrické prostory
Ahoj, chtěl bych požádat o nasměrováni v následující úloze. Děkuji.
Máme spojité a striktně rostoucí zobrazení z reálných čísel do reálných čísel. Uzávěr množiny se rovná R. Mám ověřit, zda platí tvrzení:
1. Pokud je množina hustá, pak je obraz hustá množina.
2. Pokud je množina první kategorie, pak je obraz množina první kategorie.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) auditor)
#4 22. 12. 2021 17:23
- Eratosthenes
- Příspěvky: 3111
- Reputace: 140
Re: metrické prostory
↑ auditor:
Ale bod 1 netvrdí, že obraz má být hustý v téže množině...
Tvrzení, že množina je hustá, je vlastně nekorektní (když není řečeno v jaké množině). Třeba reálná čísla taky nejsou hustá (v komplexních:-)
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#5 22. 12. 2021 17:30 — Editoval auditor (23. 12. 2021 13:19)
Re: metrické prostory
↑ Eratosthenes:
Omlouvám se za vynechání. Podle zadání se uzávěr množiny rovná R. Upravil jsem podle toho původní dotaz.
Je pravda, že v zadání není uvedeno, že obraz množiny má být hustý ve stejné množině jako množina sama. Pokud by ovšem mohl být obraz vztažen k libovolné množině, záviselo by, podle mě, řešení zcela na volbě vztažné množiny a úloha by tak neměla jednoznačné obecné řešení.
↑ Brano:
Chtěl bych požádat o zpětnou vazbu, jestli se ubírám správným směrem. Protože například publikace Elementary Real Analysis od autora Thompson obsahuje opačný závěr (s. 241 a 268). V tomto příkladu tedy není specificky uvedeno, že množina je hustá v R.
Děkuji.
Offline
#6 26. 12. 2021 04:14 — Editoval Brano (26. 12. 2021 04:15)
Re: metrické prostory
1) ked to nie je specifikovane, tak by som povedal, ze sa tym mysli husta v R, a teda odpoved je ze prve tvrdenie nie je pravdive ... avsak plati ze obraz hustej mnoziny bude mnozina husta v H(f), co je otvoreny podinterval R
2) uvazovane zobrazenie je vzdy homeomorfizmus R na nejaky interval J. t.j. obraz mnoziny I. kat. v R je mnozina I. kat. v J co je tiez mnozina I. kat. v R
Offline