Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 17. 02. 2023 21:13 — Editoval vanok (20. 04. 2023 23:21)

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Modulo N

Pozdravujem,
V tomto vlakne dam niekolko cviceni, ktore mozu byt uzitocna na riesenie niektorych diofantickych rovnic. 
Cvicenie 1)
Nech [mathjax]k,l\ge 1[/mathjax]su cele cisla.
Dokazte, ze [mathjax]{3}^{k}+{3}^{l}+1 [/mathjax] nie je druha mocnina celeho cisla.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 18. 02. 2023 19:31

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ vanok:
Hint :mozete pracovat modulo N, pre dobre vybrane N.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 20. 02. 2023 18:18

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ vanok:
Hint 2:
Skuste pracovat vdaka  mod 8.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 20. 02. 2023 19:03

check_drummer
Příspěvky: 4677
Reputace:   102 
 

Re: Modulo N

Ahoj,


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#5 20. 02. 2023 21:10 — Editoval vanok (20. 02. 2023 21:13)

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ check_drummer:
Dobre rieseie.
Pridal by som len: co riesi dane cvicenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 20. 02. 2023 22:29

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4944
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

Tohle já prostě nikdy nepochopím...

Offline

 

#7 21. 02. 2023 00:04

check_drummer
Příspěvky: 4677
Reputace:   102 
 

Re: Modulo N

↑ vanok:
Interpretací lze vymyslet celou řadu. :-)


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#8 21. 02. 2023 00:05

check_drummer
Příspěvky: 4677
Reputace:   102 
 

Re: Modulo N

MichalAld napsal(a):

Tohle já prostě nikdy nepochopím...

A co konkrétně?
Je to horší než implikace? :-)


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#9 21. 02. 2023 01:14

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4944
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

No to určitě. Implikaci jsem nakonec skoro pochopil. Ale tohle mi hlava nebere...

Offline

 

#10 21. 02. 2023 08:51 — Editoval vanok (21. 02. 2023 09:39)

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

Skuste vyriesit

Cvicenie 2)
Dokazte, ze diofantivka rovnica [mathjax]x^3+5=117y^3[/mathjax] nema riesenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 21. 02. 2023 20:47

check_drummer
Příspěvky: 4677
Reputace:   102 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Jak to? prostě tu rovnost zkoumáš modulo n a využiješ tvrzení že např. platí (a+b) mod n = ((a mod n)+(b mod n))mod n.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#12 21. 02. 2023 21:11

laszky
Příspěvky: 2368
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   196 
 

Re: Modulo N

↑ vanok:

Ahoj,

Offline

 

#13 21. 02. 2023 23:23 — Editoval vanok (21. 02. 2023 23:24)

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ laszky:
Pozdrzvujem,
To je vyborny hint.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 22. 02. 2023 19:43

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4944
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

check_drummer napsal(a):

↑ MichalAld:
Jak to? prostě tu rovnost zkoumáš modulo n a využiješ tvrzení že např. platí (a+b) mod n = ((a mod n)+(b mod n))mod n.

Tak mi ještě poraď, jak se dokáže, že třeba [mathjax]n^2[/mathjax] mod 8 jsou jen ta čísla co píšeš. Chápu, že

1*1 mod 8 = 1
2*2 mod 8 = 4
3*3 mod 8 = 1
4*4 mod 8 = 0
5*5 mod 8 = 1

atd, ale obecně? Napadá mě jen využít toho, že

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1

ale dál už se v tom nějak ztrácím.

Offline

 

#15 22. 02. 2023 21:26 — Editoval vanok (23. 02. 2023 07:14)

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

Pozdravujem ↑ MichalAld:
Ako mozme konstatovat si skoro dokazal, ze stvorce mod 8 su  0, 1 alebo 4.(chyba 0*0; 6*6; 7*7 )
A potom kolega vysetril ako sa chova  mod 8 vyraz [mathjax]{3}^{k}+{3}^{l}+1 [/mathjax]…. a hned konstatujes, ze dostanes ine moznosti ako 0,1,4.
Staci?

Teraz sa mozeme sustredit na cvicenie 2).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 23. 02. 2023 15:53 — Editoval MichalAld (23. 02. 2023 15:54)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4944
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

↑ vanok:

Jo, a dál už se to vlastně opakuje, že? Něco jako

[mathjax]x^2 = (n \cdot 8 + i)^2 = n^2 \cdot 8^2 + 2\cdot n \cdot i \cdot 8 + i^2[/mathjax]

kde i = 0, 1 ... 7

Takže x mod 8 je vlastně i mod 8.

Je to tak?

Offline

 

#17 23. 02. 2023 19:11

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4944
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

Chtěl jsem říct x^2 mod 8 je i^2 mod 8.

Offline

 

#18 23. 02. 2023 19:43

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4944
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

vanok napsal(a):

Skuste vyriesit

Cvicenie 2)
Dokazte, ze diofantivka rovnica [mathjax]x^3+5=117y^3[/mathjax] nema riesenie.

Takže, jestli jsem to správně pochopil, ta když aplikujeme modulo 9, tak pravá strana je vždycky 0 (protože 117 = 9 * 13).

A levá strana ... x^3 mod 9 stačí vyšetřit pro x = 0 ... 8, což dává hodnoty 0, 1 a 8.

Takže (x^3 + 5) mod 9 bude 5, 6 nebo 4. Což nikdy není ta nula, co je na pravé straně.

Je to tak?


A existuje nějaký způsob jak přijít na to, jaké modulo máme použít, nebo se to musí vyzkoušet?

Dá se modulo nějak využít i pro řešení rovnice [mathjax]a^2 + b^2 = c^2[/mathjax] ?

Offline

 

#19 23. 02. 2023 22:26

check_drummer
Příspěvky: 4677
Reputace:   102 
 

Re: Modulo N

MichalAld napsal(a):

Dá se modulo nějak využít i pro řešení rovnice [mathjax]a^2 + b^2 = c^2[/mathjax] ?

Třeba můžeš odvodit mod 4, že (když předpokládáme, že jsou a,b,c nesoudělná) právě jedno z čísel a,b je násobek 4 a že ta ostatní dvě jsou lichá.
Stejně tak můžeš (mod 3) odvodit, že právě jedno z a,b je násobek 3 a ostatní čísla už ne.
A stejně tak můžeš odvodit (mod 5), že právě jedno z a,b,c je násobek 5.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#20 23. 02. 2023 22:27

check_drummer
Příspěvky: 4677
Reputace:   102 
 

Re: Modulo N

MichalAld napsal(a):

↑ vanok:

Jo, a dál už se to vlastně opakuje, že? Něco jako

[mathjax]x^2 = (n \cdot 8 + i)^2 = n^2 \cdot 8^2 + 2\cdot n \cdot i \cdot 8 + i^2[/mathjax]

kde i = 0, 1 ... 7

Takže x mod 8 je vlastně i mod 8.

Je to tak?

Ano, pak už se to opakuje.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#21 24. 02. 2023 13:01 — Editoval vanok (25. 02. 2023 09:45)

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Pozddrzvujem
Ano to je JEDNO dobtre riesenir. 
Najst pre analogicke problemy dobre mod N nie je vzdy jednoduchre   A niekedy to ani nie je mozne. 
A niekrdy praca mod N da len nejake ( uzitocne) informacie o rieseniach ktore hladame, no ale niekedy to na riesenie nestaci.
V predoslych dvoch cviceniach vhodne N bola mocnina p, a tak sme vyuzili vlasnosti telies ( dokonca komutativnych). ..,, a tiez tiez teorie sa ich tykujucich.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#22 25. 02. 2023 22:25 — Editoval krakonoš (01. 03. 2023 19:48)

krakonoš
Příspěvky: 1163
Reputace:   34 
 

Re: Modulo N

↑ vanok:
Cvičení 1)
Ahoj!
Myslím si, že pokud by výraz 3^k+3^l+1 šel vyjádřit druhou mocninou, muselo by se jednat o druhou mocninou lichého čísla, protože výraz vlevo dává liché číslo, aspoň doufám.
Pak by 3^k+3^l+1=(2r+1)^2
Tedy 3^k+3^l=4r(r+1)
Pro k=l
2*3^k=4r(r+1)
Nastane spor s lichostí vlevo a sudostí vpravo.
Pokud bez újmy na obecnosti l>k
tak r=3^k/4=3^(l-k)
3^2k=4*3^l
3^k=2*sqrt3^l
I kdyby číslo šlo odmocnit, vlevo je číslo liché, vpravo pak sudé.
Pokud jsem něco nepřehlédla.,


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#23 26. 02. 2023 02:54 — Editoval vanok (26. 02. 2023 09:28)

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ krakonoš:
Pozdravujem,

Pochopitelne je mozne vyriesit dane cvicenia aj inac ako je to urobene vyssie.
Ak ti to nevadi, tvoje uvahy o parnosti mozes vyjadrit vdaka mod 2.
Inac je opatrne vzdy uviest v kazdom prispevku cislo cvicenia,
Dakujem o tvoj zaujem o cvicenie 1}.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#24 26. 02. 2023 10:51

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4944
Reputace:   125 
 

Re: Modulo N

↑ vanok:
Hoď sem ještě něco (né moc složitého) na modulo. Já mám docela radost, že jsem to nakonec pochopil...

Offline

 

#25 26. 02. 2023 20:25 — Editoval vanok (26. 02. 2023 22:33)

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

↑ MichalAld:
Pozdravujem
Cvicenie 3)
Nech n je prirodzene cislo. 
Dokazte, ze   [mathjax]n^5+7[/mathjax]   nie je druha mocnina celeho cisla.

Aj tu, ked urcis vhodne N, sa toto cvicenie bude mozne podobne riesit ako predosle cvicenia.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson