Matematické Fórum

↑ vanok:
Hint :mozete pracovat modulo N, pre dobre vybrane N.

Ahoj,

Tohle já prostě nikdy nepochopím...

MichalAld napsal(a):

Tohle já prostě nikdy nepochopím...

A co konkrétně?
Je to horší než implikace? :-)

Skuste vyriesit

Cvicenie 2)
Dokazte, ze diofantivka rovnica [mathjax]x^3+5=117y^3[/mathjax] nema riesenie.

↑ vanok:

Ahoj,

check_drummer napsal(a):

↑ MichalAld:
Jak to? prostě tu rovnost zkoumáš modulo n a využiješ tvrzení že např. platí (a+b) mod n = ((a mod n)+(b mod n))mod n.

Tak mi ještě poraď, jak se dokáže, že třeba [mathjax]n^2[/mathjax] mod 8 jsou jen ta čísla co píšeš. Chápu, že

1*1 mod 8 = 1
2*2 mod 8 = 4
3*3 mod 8 = 1
4*4 mod 8 = 0
5*5 mod 8 = 1

atd, ale obecně? Napadá mě jen využít toho, že

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1

ale dál už se v tom nějak ztrácím.

↑ vanok:

Jo, a dál už se to vlastně opakuje, že? Něco jako

[mathjax]x^2 = (n \cdot 8 + i)^2 = n^2 \cdot 8^2 + 2\cdot n \cdot i \cdot 8 + i^2[/mathjax]

kde i = 0, 1 ... 7

Takže x mod 8 je vlastně i mod 8.

Je to tak?

vanok napsal(a):

Skuste vyriesit

Cvicenie 2)
Dokazte, ze diofantivka rovnica [mathjax]x^3+5=117y^3[/mathjax] nema riesenie.

Takže, jestli jsem to správně pochopil, ta když aplikujeme modulo 9, tak pravá strana je vždycky 0 (protože 117 = 9 * 13).

A levá strana ... x^3 mod 9 stačí vyšetřit pro x = 0 ... 8, což dává hodnoty 0, 1 a 8.

Takže (x^3 + 5) mod 9 bude 5, 6 nebo 4. Což nikdy není ta nula, co je na pravé straně.

Je to tak?


A existuje nějaký způsob jak přijít na to, jaké modulo máme použít, nebo se to musí vyzkoušet?

Dá se modulo nějak využít i pro řešení rovnice [mathjax]a^2 + b^2 = c^2[/mathjax] ?

MichalAld napsal(a):

↑ vanok:

Jo, a dál už se to vlastně opakuje, že? Něco jako

[mathjax]x^2 = (n \cdot 8 + i)^2 = n^2 \cdot 8^2 + 2\cdot n \cdot i \cdot 8 + i^2[/mathjax]

kde i = 0, 1 ... 7

Takže x mod 8 je vlastně i mod 8.

Je to tak?

Ano, pak už se to opakuje.

↑ vanok:
Cvičení 1)
Ahoj!
Myslím si, že pokud by výraz 3^k+3^l+1 šel vyjádřit druhou mocninou, muselo by se jednat o druhou mocninou lichého čísla, protože výraz vlevo dává liché číslo, aspoň doufám.
Pak by 3^k+3^l+1=(2r+1)^2
Tedy 3^k+3^l=4r(r+1)
Pro k=l
2*3^k=4r(r+1)
Nastane spor s lichostí vlevo a sudostí vpravo.
Pokud bez újmy na obecnosti l>k
tak r=3^k/4=3^(l-k)
3^2k=4*3^l
3^k=2*sqrt3^l
I kdyby číslo šlo odmocnit, vlevo je číslo liché, vpravo pak sudé.
Pokud jsem něco nepřehlédla.,

↑ vanok:
Hoď sem ještě něco (né moc složitého) na modulo. Já mám docela radost, že jsem to nakonec pochopil...