Matematické Fórum

Filip2142

Zdravím všechny,

obrátil jsem na mě kamarád s problémem:

Řeším jednu zapeklitou rovnici, kterou mám vypočítat dostatečnou tloušťku izolace na potrubí.
Mám celý postup, který bych si i tak sám odvodil. Potíž je v tom, že tloušťka izolace se ve vzorci nachází dvakrát a tudíž mám problém ji izolovat - nemůžu si zkontrolovat správnost výpočtu a nemohu si vzorec přepsat do excelu.

Napadá Tě nějaké spásné řešení, jak vyjádřit onu neznámou?

To je nezjednodušený vzorec ☝️
Potřebuji vyjádřit diz.

To je zjednodušený vzorec se zanedbáním méně významné části ☝️
Potřebuji vyjádřit diz.

Pokus o vyjádření kýžené neznámé.
Nemám to dotažené...

Díky moc za rady, za případné aproximace, apod :)

check_drummer · 05. 03. 2024 15:28

Ahoj, tipnu si, že bude potřeba použít nějakou numeriickou metodu na řešení rovnic.

Honzc · 05. 03. 2024 21:32 — Editoval Honzc (06. 03. 2024 14:52)

↑ Filip2142:
Ta rovnice co jsi odvodil (nekontroloval jsem zda je správně) je transcendentní a je řešitelná pouze numerickými metodami.
Tady máš ten výpočet

laszky · 06. 03. 2024 00:44 — Editoval laszky (06. 03. 2024 01:31)

Ahoj, tvoje puvodni rovnice lze prevest na tvar

$A - B x^{k} = \ln x,$

kde $x = d_{i z}$ je velicina, kterou chces vyjadrit, a zbyle konstanty maji tvar:

$k = - 1$

$B = 2 \frac{λ_{i z}}{α_{i z}}$

$A = 2 λ_{i z} \frac{π}{U} - \frac{λ_{i z}}{λ_{t r}} \ln \frac{d}{D} - \frac{2 λ_{i z}}{α_{i} D} + \ln d$

Z rovnice $A - B x^{k} = \ln x,$ lze $x$ vyjadrit pomoci Lambertovy funkce W nasledujicimi upravami:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Skrytý text:

- B x^{k} = (\ln x) - A = (\ln x) - \ln e^{A} = \ln (\frac{x}{e^{A}})

- B \cdot e^{A k} \cdot {(\frac{x}{e^{A}})}^{k} = \ln (\frac{x}{e^{A}})

B k \cdot e^{A k} = - k \cdot {(\frac{x}{e^{A}})}^{- k} \cdot \ln (\frac{x}{e^{A}}) = {(\frac{x}{e^{A}})}^{- k} \cdot \ln {(\frac{x}{e^{A}})}^{- k}

A protoze pro Lambertovu funkci W plati:

y \ln y = K \Rightarrow y = e^{W (K)},

ziskame

{(\frac{x}{e^{A}})}^{- k} = \exp (W (B k \cdot e^{A k}))

odkud jiz snadno vyjadrime

x

.

Ziskame:

x = \exp (A - \frac{1}{k} W (B k \cdot e^{A k}))

Pokud je

k = - 1,

pak je

x = \exp (A + W (- \frac{B}{e^{A}})) = \frac{- B}{W (- \frac{B}{e^{A}})}

a z definice Lambertovy funkce navic vyplyva, ze

pro

B = e^{A - 1}

a pro vsechna

B \leq 0

existuje prave jedno reseni

pro

B \in (0, e^{A - 1})

existují právě 2 řešení a

pro

B > e^{A - 1}

řešení v

R

neexistuje.

EDIT: V tom zjednodusenem konkretnim pripade vychazi priblizne

A = - 1.9940, B = 0.0133

a protoze

e^{A - 1} = 0.0501,

ma uloha 2 reseni:

x_{1} = 3, 7 mm

a

x_{2} = 122, 1 mm

V tom vysledku, ktery je vyse uveden, je navic chyba. Chceme-li, aby bylo

U \leq 0.18

, potom musi byt

U \approx \frac{π}{\frac{1}{2 \cdot 0.04} \cdot \ln (\frac{d_{i z}}{0.0337}) + \frac{1}{6 \cdot d_{i z}}} \leq 0.18

tedy nerovnost je obracene. Tuto nerovnost splnuji nejenom vsechna

d_{i z} \geq 122.1,

ale take

d_{i z} \in (0, 3.7] .

Filip2142 · 20. 03. 2024 11:03

Díky všem za cenné rady. Měl bych dotaz ještě k W, jak jej mohu vyčíslit?

Bati · 20. 03. 2024 11:16 — Editoval Bati (20. 03. 2024 11:21)

↑ Filip2142:
W neni cislo, ale funkce. Konkretne je to inverzni "funkce" k funkci $x e^{x}$ .

A pokud jsi myslel, jak vycislit tuhle funkci v konkretnim bode $x_{0}$ , muzes zkusit nejaky fixed point pro rovnici $x e^{x} = x_{0}$ , jenom si ohlidej interval, ve kterem chces pracovat (necetl jsem cele tema).

Honzc · 20. 03. 2024 13:18

↑ Filip2142:
Lambertova W funkce (W(x)) je také trancendentní a tedy také řešitelná pouze numericky.
Takže já bych použil ten postup co jsem napsal v příspěvku 3.

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2024 14:22 — Editoval Filip2142 (05. 03. 2024 14:28)

Zjednodušení vzorce pro tloušťku izolace

#2 05. 03. 2024 15:28

Re: Zjednodušení vzorce pro tloušťku izolace

#3 05. 03. 2024 21:32 — Editoval Honzc (06. 03. 2024 14:52)

Re: Zjednodušení vzorce pro tloušťku izolace

#4 06. 03. 2024 00:44 — Editoval laszky (06. 03. 2024 01:31)

Re: Zjednodušení vzorce pro tloušťku izolace

#5 20. 03. 2024 11:03

Re: Zjednodušení vzorce pro tloušťku izolace

#6 20. 03. 2024 11:16 — Editoval Bati (20. 03. 2024 11:21)

Re: Zjednodušení vzorce pro tloušťku izolace

#7 20. 03. 2024 13:18

Re: Zjednodušení vzorce pro tloušťku izolace

Zápatí