Matematické Fórum

Ahoj, tipnu si, že bude potřeba použít nějakou numeriickou metodu na řešení rovnic.

Ahoj, tvoje puvodni rovnice lze prevest na tvar

[mathjax] A-Bx^k=\ln x, [/mathjax]

kde [mathjax] x=d_{iz} [/mathjax] je velicina, kterou chces vyjadrit, a zbyle konstanty maji tvar:

[mathjax] k=-1 [/mathjax]

[mathjax] {\displaystyle B = 2\frac{\lambda_{iz}}{\alpha_{iz}} } [/mathjax]

[mathjax] {\displaystyle A = 2\lambda_{iz}\frac{\pi}{U} - \frac{\lambda_{iz}}{\lambda_{tr}}\ln\frac{d}{D}  - \frac{2\lambda_{iz}}{\alpha_iD} + \ln d   } [/mathjax]

Z rovnice [mathjax] A-Bx^k=\ln x, [/mathjax] lze [mathjax] x[/mathjax] vyjadrit pomoci Lambertovy funkce W nasledujicimi upravami:

Ziskame: [mathjax] {\displaystyle  x \; = \;   \exp\left(A-\frac{1}{k}\,W\!\left(Bk\cdot\mathrm{e}^{Ak} \right) \, \right)   }[/mathjax]

Pokud je [mathjax]k=-1,[/mathjax] pak je [mathjax] {\displaystyle  x \; = \;   \exp\left(A+W\!\left(-\frac{B}{\mathrm{e}^{A}} \right) \, \right)  = \frac{-B}{W\left(-\frac{B}{\mathrm{e}^{A}}\right)}  }[/mathjax]  a z definice Lambertovy funkce navic vyplyva, ze

pro [mathjax] B=\mathrm{e}^{A-1}  [/mathjax] a pro vsechna [mathjax] B \leq 0 [/mathjax] existuje prave jedno reseni

pro [mathjax] B \in (0,\mathrm{e}^{A-1}) [/mathjax] existují právě 2 řešení a

pro [mathjax] B > \mathrm{e}^{A-1} [/mathjax] řešení v [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax] neexistuje.

EDIT: V tom zjednodusenem konkretnim pripade vychazi priblizne [mathjax]A = -1.9940,\; B=0.0133 [/mathjax] a protoze [mathjax] \mathrm{e}^{A-1} = 0.0501, [/mathjax] ma uloha 2 reseni:

[mathjax] x_1 = 3,7~\mathrm{mm} [/mathjax] a [mathjax] x_2 = 122,1~\mathrm{mm} [/mathjax]

V tom vysledku, ktery je vyse uveden, je navic chyba. Chceme-li, aby bylo [mathjax] U\leq 0.18[/mathjax], potom musi byt

[mathjax] {\displaystyle  U \approx \frac {\pi}{\frac{1}{2\cdot0.04} \cdot\ln\left(\frac{d_{iz}}{0.0337}\right) + \frac{1}{6\cdot d_{iz}}}  \leq 0.18 }[/mathjax]

tedy nerovnost je obracene. Tuto nerovnost splnuji nejenom vsechna [mathjax]d_{iz}\geq 122.1, [/mathjax] ale take [mathjax] d_{iz}\in (0, 3.7]. [/mathjax]

↑ Filip2142:
W neni cislo, ale funkce. Konkretne je to inverzni "funkce" k funkci [mathjax]xe^x[/mathjax].

A pokud jsi myslel, jak vycislit tuhle funkci v konkretnim bode [mathjax]x_0[/mathjax], muzes zkusit nejaky fixed point pro rovnici [mathjax]xe^x=x_0[/mathjax], jenom si ohlidej interval, ve kterem chces pracovat (necetl jsem cele tema).