Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 26. 03. 2024 21:48 — Editoval auditor (27. 03. 2024 22:26)

auditor
Příspěvky: 150
Reputace:   
 

Nekonečná řada

Dobrý den, poprosil bych o radu k následující úloze.

Máme nekonečnou řadu reálných čísel s nulovým součtem [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} = 0[/mathjax]. Víme, že alespoň 2 členy této řady jsou nenulové.

Máme dokázat, zda existuje nekonečná řada [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n^{c}} = 0[/mathjax], pro [mathjax]c \in (0,1][/mathjax].

Předem děkuji.

Zatím mě napadlo tohle.

Rovnice odečteme. Dostaneme [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n^{c}} - a_{n} = 0[/mathjax]. Odtud [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}- n^{c} a_{n}}{n^{c}} = 0[/mathjax]. Tedy [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} \frac{1- n^{c}}{n^{c}} = 0[/mathjax].


Nyní položíme [mathjax]a_{1} =a_{4} = .... =0[/mathjax] a [mathjax]a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{n^{c}}{1-n^{c}}[/mathjax], pro [mathjax]a_{2}, a_{3}[/mathjax]. Pak máme [mathjax]\sum_{n=2}^{3} (-1)^{n+1} \frac{n^{c}}{1-n^{c}} \frac{1- n^{c}}{n^{c}} = \sum_{n=2}^{3} (-1)^{n+1} = 0[/mathjax].

Stačí to k důkazu existence nekonečné řady s nejméně 2 nenulovými členy [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n^{c}} = 0[/mathjax]?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) auditor)

#2 27. 03. 2024 08:44

Bati
Příspěvky: 2435
Reputace:   191 
 

Re: Nekonečná řada

Ahoj, zkusil si Abelovo nebo Dirichletovo kriterium?

Online

 

#3 27. 03. 2024 09:16

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Nekonečná řada

↑ auditor:
Ahoj, a1=1, a2=-1, ostatní členy 0. Myslím že nebude součet druhé řady 0 nikdy pro c ze zadaného intervalu


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#4 27. 03. 2024 13:23

auditor
Příspěvky: 150
Reputace:   
 

Re: Nekonečná řada

↑ osman: Děkuji za příklad.

Offline

 

#5 27. 03. 2024 13:27

auditor
Příspěvky: 150
Reputace:   
 

Re: Nekonečná řada

↑ Bati: Děkuji za podnět. Zajímá mě, zda řada konverguje přímo k nule, nejen zda obecně konverguje. Zmíněná kritéria konvergence podle mě pomohou určit pouze, zda řada obecně konverguje.

Offline

 

#6 27. 03. 2024 14:34

Bati
Příspěvky: 2435
Reputace:   191 
 

Re: Nekonečná řada

↑ auditor:
To je pravda, cetl jsem jenom "zda existuje" a prehledl =0.

Online

 

#7 28. 03. 2024 11:04 — Editoval osman (28. 03. 2024 11:08)

osman
Příspěvky: 209
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Nekonečná řada

↑ auditor:

Nyní položíme [mathjax]a_{1} =a_{4} = .... =0[/mathjax] a [mathjax]a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{n^{c}}{1-n^{c}}[/mathjax], pro [mathjax]a_{2}, a_{3}[/mathjax]. Pak máme  [mathjax]\sum_{n=2}^{3} (-1)^{n+1} \frac{n^{c}}{1-n^{c}} \frac{1- n^{c}}{n^{c}} = \sum_{n=2}^{3} (-1)^{n+1} = 0[/mathjax].

Zdravím, obě řady sice mají stejný součet, ale ten bohužel není 0.

(1) [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} = 0[/mathjax]. Víme, že alespoň 2 členy této řady jsou nenulové.

(2) [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n^{c}} = 0[/mathjax], pro [mathjax]c \in (0,1][/mathjax].

Zatím jsme dokázali, že nejsou pravdivá tvrzení:
Pro každou řadu (1) a pro každé [mathjax]c \in (0,1][/mathjax] platí (2).
Pro každou řadu (1) existuje [mathjax]c \in (0,1][/mathjax] tak, že platí (2).

Kontrabajšpíl: [mathjax]a_{1}=1,\text{ }a_{2}=-1,[/mathjax], ostatní členy nulové.

Zkusíme dokázat:
Existuje řada (1) a existuje [mathjax]c \in (0,1][/mathjax] tak, že platí (2).

Zkonstruujeme řadu pro [mathjax]c=1[/mathjax]:


Obě řady mají součet 0, tedy pro [mathjax]c=1[/mathjax] tvrzení platí.

Dále tvrdím, že pro [mathjax]c=1[/mathjax] mohu vytvořit nekonečně mnoho takových řad (jak?)

Pro [mathjax]c\lt1[/mathjax] nevím.


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#8 28. 03. 2024 18:23 — Editoval auditor (30. 03. 2024 15:57)

auditor
Příspěvky: 150
Reputace:   
 

Re: Nekonečná řada

↑ osman:  Děkuji za podrobný rozbor.

Ano, uvedený příklad podmínkám nevyhovuje, protože součet první ani druhé řady není nulový.

Zkonstruujeme řadu pro [mathjax]c = \frac{1}{2}[/mathjax]: [mathjax]a_{1} = 1, a_{9} = -9, a_{16} = 8[/mathjax], ostatní členy nulové, [mathjax]b_{1} = 1, b_{9} = -3, b_{16} = 2[/mathjax] ostatní členy nulové.

Zkonstruujeme řadu pro [mathjax]c = \frac{1}{3}[/mathjax]: [mathjax]a_{1} = 1, a_{27} = -9, a_{64} = 8[/mathjax], ostatní členy nulové, [mathjax]b_{1} = 1, b_{27} = -3, b_{64} = 2[/mathjax] ostatní členy nulové.

Zkonstruujeme další řadu pro [mathjax]c = 1[/mathjax]: [mathjax]a_{1} = 1, a_{4} = -16, a_{5} = 15[/mathjax], ostatní členy nulové, [mathjax]b_{1} = 1, b_{4} = -4, b_{5} = 3[/mathjax] ostatní členy nulové.

Zkonstruujeme obecně tento typ řady pro [mathjax]c = 1[/mathjax]: [mathjax]a_{1} = 1, a_{n} = -n^{2}, a_{n+1} = n^{2}-1[/mathjax], ostatní členy nulové, [mathjax]b_{1} = 1, b_{n} = -n, b_{n+1} = n-1, n = 2, ...[/mathjax] ostatní členy nulové.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson