Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 26. 03. 2024 21:48 — Editoval auditor (27. 03. 2024 22:26)
Nekonečná řada
Dobrý den, poprosil bych o radu k následující úloze.
Máme nekonečnou řadu reálných čísel s nulovým součtem [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} = 0[/mathjax]. Víme, že alespoň 2 členy této řady jsou nenulové.
Máme dokázat, zda existuje nekonečná řada [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n^{c}} = 0[/mathjax], pro [mathjax]c \in (0,1][/mathjax].
Předem děkuji.
Zatím mě napadlo tohle.
Rovnice odečteme. Dostaneme [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n^{c}} - a_{n} = 0[/mathjax]. Odtud [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}- n^{c} a_{n}}{n^{c}} = 0[/mathjax]. Tedy [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} \frac{1- n^{c}}{n^{c}} = 0[/mathjax].
Nyní položíme [mathjax]a_{1} =a_{4} = .... =0[/mathjax] a [mathjax]a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{n^{c}}{1-n^{c}}[/mathjax], pro [mathjax]a_{2}, a_{3}[/mathjax]. Pak máme [mathjax]\sum_{n=2}^{3} (-1)^{n+1} \frac{n^{c}}{1-n^{c}} \frac{1- n^{c}}{n^{c}} = \sum_{n=2}^{3} (-1)^{n+1} = 0[/mathjax].
Stačí to k důkazu existence nekonečné řady s nejméně 2 nenulovými členy [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n^{c}} = 0[/mathjax]?
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) auditor)
#3 27. 03. 2024 09:16
Re: Nekonečná řada
↑ auditor:
Ahoj, a1=1, a2=-1, ostatní členy 0. Myslím že nebude součet druhé řady 0 nikdy pro c ze zadaného intervalu
Hlavní je zápal, talent se dostaví!
Offline
#6 27. 03. 2024 14:34
#7 28. 03. 2024 11:04 — Editoval osman (28. 03. 2024 11:08)
Re: Nekonečná řada
Nyní položíme [mathjax]a_{1} =a_{4} = .... =0[/mathjax] a [mathjax]a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{n^{c}}{1-n^{c}}[/mathjax], pro [mathjax]a_{2}, a_{3}[/mathjax]. Pak máme [mathjax]\sum_{n=2}^{3} (-1)^{n+1} \frac{n^{c}}{1-n^{c}} \frac{1- n^{c}}{n^{c}} = \sum_{n=2}^{3} (-1)^{n+1} = 0[/mathjax].
Zdravím, obě řady sice mají stejný součet, ale ten bohužel není 0.
(1) [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} = 0[/mathjax]. Víme, že alespoň 2 členy této řady jsou nenulové.
(2) [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}}{n^{c}} = 0[/mathjax], pro [mathjax]c \in (0,1][/mathjax].
Zatím jsme dokázali, že nejsou pravdivá tvrzení:
Pro každou řadu (1) a pro každé [mathjax]c \in (0,1][/mathjax] platí (2).
Pro každou řadu (1) existuje [mathjax]c \in (0,1][/mathjax] tak, že platí (2).
Kontrabajšpíl: [mathjax]a_{1}=1,\text{ }a_{2}=-1,[/mathjax], ostatní členy nulové.
Zkusíme dokázat:
Existuje řada (1) a existuje [mathjax]c \in (0,1][/mathjax] tak, že platí (2).
Zkonstruujeme řadu pro [mathjax]c=1[/mathjax]:
Obě řady mají součet 0, tedy pro [mathjax]c=1[/mathjax] tvrzení platí.
Dále tvrdím, že pro [mathjax]c=1[/mathjax] mohu vytvořit nekonečně mnoho takových řad (jak?)
Pro [mathjax]c\lt1[/mathjax] nevím.
Hlavní je zápal, talent se dostaví!
Offline
#8 28. 03. 2024 18:23 — Editoval auditor (30. 03. 2024 15:57)
Re: Nekonečná řada
↑ osman: Děkuji za podrobný rozbor.
Ano, uvedený příklad podmínkám nevyhovuje, protože součet první ani druhé řady není nulový.
Zkonstruujeme řadu pro [mathjax]c = \frac{1}{2}[/mathjax]: [mathjax]a_{1} = 1, a_{9} = -9, a_{16} = 8[/mathjax], ostatní členy nulové, [mathjax]b_{1} = 1, b_{9} = -3, b_{16} = 2[/mathjax] ostatní členy nulové.
Zkonstruujeme řadu pro [mathjax]c = \frac{1}{3}[/mathjax]: [mathjax]a_{1} = 1, a_{27} = -9, a_{64} = 8[/mathjax], ostatní členy nulové, [mathjax]b_{1} = 1, b_{27} = -3, b_{64} = 2[/mathjax] ostatní členy nulové.
Zkonstruujeme další řadu pro [mathjax]c = 1[/mathjax]: [mathjax]a_{1} = 1, a_{4} = -16, a_{5} = 15[/mathjax], ostatní členy nulové, [mathjax]b_{1} = 1, b_{4} = -4, b_{5} = 3[/mathjax] ostatní členy nulové.
Zkonstruujeme obecně tento typ řady pro [mathjax]c = 1[/mathjax]: [mathjax]a_{1} = 1, a_{n} = -n^{2}, a_{n+1} = n^{2}-1[/mathjax], ostatní členy nulové, [mathjax]b_{1} = 1, b_{n} = -n, b_{n+1} = n-1, n = 2, ...[/mathjax] ostatní členy nulové.
Offline