Matematické Fórum

↑ auditor:
Ahoj, a1=1, a2=-1, ostatní členy 0. Myslím že nebude součet druhé řady 0 nikdy pro c ze zadaného intervalu

↑ Bati: Děkuji za podnět. Zajímá mě, zda řada konverguje přímo k nule, nejen zda obecně konverguje. Zmíněná kritéria konvergence podle mě pomohou určit pouze, zda řada obecně konverguje.

↑ auditor:

Nyní položíme $a_1=a_4=....=0$ a $a_n=(-1{)}^{n+1}\frac{n^c}{1-n^c}$, pro $a_2,a_3$. Pak máme  $\sum _{n=2}^3(-1{)}^{n+1}\frac{n^c}{1-n^c}\frac{1-n^c}{n^c}=\sum _{n=2}^3(-1{)}^{n+1}=0$.

Zdravím, obě řady sice mají stejný součet, ale ten bohužel není 0.

(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=0$. Víme, že alespoň 2 členy této řady jsou nenulové.

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^c}=0$, pro $c\in (0,1]$.

Zatím jsme dokázali, že nejsou pravdivá tvrzení:
Pro každou řadu (1) a pro každé $c\in (0,1]$ platí (2).
Pro každou řadu (1) existuje $c\in (0,1]$ tak, že platí (2).

Kontrabajšpíl: $a_1=1,a_2=-1,$, ostatní členy nulové.

Zkusíme dokázat:
Existuje řada (1) a existuje $c\in (0,1]$ tak, že platí (2).

Zkonstruujeme řadu pro $c=1$:

Obě řady mají součet 0, tedy pro $c=1$ tvrzení platí.

Dále tvrdím, že pro $c=1$ mohu vytvořit nekonečně mnoho takových řad (jak?)

Pro $c<1$ nevím.