Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 07. 2024 13:22

FRhapsody
Příspěvky: 67
Pozice: Student
Reputace:   
 

Rovnice s faktoriálem

Zdravím,


potýkám se s problémem s následující rovnicí: [mathjax]\log_{10}(x-2)!=\log_{10}(x-2)+\log_{10}(x-4)![/mathjax] (faktoriál se zde dělá v rámci argumentů funkce, nikoliv na funkci jako celek). Před řešením jsem si stanovil podmínky [mathjax]x\ge 2;x\ge 4;x>2[/mathjax], jejichž průnikem je množina [mathjax]<4;\infty )[/mathjax]. Po uplatnění vět o logaritmech a rozepsání faktoriálů jsem dospěl k následující rovnici [mathjax](x-2)*(x-3)*(x-4)!=(x-2)*(x-4)![/mathjax], kde jsem navzájem podělil výrazy [mathjax]x-2[/mathjax] a [mathjax](x-4)![/mathjax], neboť podmínky pro jejich nenulovou hodnotu jsem stanovil již na začátku, tudíž jsem nakonec došel k [mathjax]x-3=1[/mathjax], z čehož vychází [mathjax]x=4[/mathjax]. Po porovnání s podmínkami jsem došel k závěru, že je přístupným kořenem rovnice a i po dosazení této hodnoty za x do kalkulačky mi nevyšel Math Error, avšak ve výsledcích je uvedeno, že rovnice nemá řešení. Mohu se tedy zeptat, v jakém kroku jsem udělal chybu? Předpokládám, že to bude asi v rámci podmínek, ale pokud vím, tak [mathjax]0!=1[/mathjax], tudíž by zde neměla být ostrá nerovnost.

Když jsem si nechal vykreslit graf obou funkcí, vyšlo mi, že se skutečně protínají v bodě [4;0,3].


Předem děkuji.


Lidé, kteří si osvojili principy matematiky, mají o jeden smysl víc než obyčejní smrtelníci. (Darwin)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) FRhapsody)

#2 01. 07. 2024 13:32

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 1128
Reputace:   19 
Web
 

Re: Rovnice s faktoriálem

Po úpravě dostanu: log(x-2)! = log((x-2)*(x-4)!)
po odlogaritmování: (x-2)! = (x-2)(x-4)!
dále:                      (x-2)(x-3)(x-4)! = (x-2)(x-4)!
dále:                            x-3=1, tj. x=4

x=4 rovnici vyhovuje

Je zadání správně opsané?
Ve výsledku též může být chyba.

Offline

 

#3 01. 07. 2024 13:40

FRhapsody
Příspěvky: 67
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Rovnice s faktoriálem

↑ Richard Tuček: Zde přikládám fotku daného cvičení : https://media.discordapp.net/attachment … height=676 Jedná se o sbírku pro SOŠ, SOU a nástavbové studium od Hudcové a Kubičíkové.

Jedná se o příklad b). Vzhledem k tomu, že ten výraz s faktoriálem není ještě jednou uzávorkovaný, nevím, jestli se ten faktoriál skutečně vztahuje pouze k x-2 a x-4, či k celému logaritmu, což mi ale přijde takové dost zvláštní. Ještě k tomu první přístup jsem použil i u příkladu a), c), d) a tam vyšel výsledek v pořádku.

Zde ještě fotka výsledků, kde je skutečně tvrzeno, že nemá řešení : https://media.discordapp.net/attachment … height=676


Lidé, kteří si osvojili principy matematiky, mají o jeden smysl víc než obyčejní smrtelníci. (Darwin)

Offline

 

#4 01. 07. 2024 14:52

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 1128
Reputace:   19 
Web
 

Re: Rovnice s faktoriálem

↑ FRhapsody:
Zdá se, že je to správně opsané. Ve výsledku bude asi chyba.
Ověřil jsem si, že číslo 4 rovnici vyhovuje.

Offline

 

#5 01. 07. 2024 16:43

Honzc
Příspěvky: 4585
Reputace:   243 
 

Re: Rovnice s faktoriálem

↑ FRhapsody:
Ono totiž platí [mathjax]0!=1[/mathjax] a tedy [mathjax]\log_{10}1=0[/mathjax]

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson