Matematické Fórum

MiK1234

Dobrý den, potřeboval bych pomoct s těmito příklady:

I. Sestavte středovou rovnici hyperboly s vrcholem A[2;1], jestliže znáte její asymptoty: as1: x-2y+2=0; as2: x+2y+2=0...
Určete délku tětivy, kterou vytíná na přímce rovnoběžné osou y a procházející ohniskem.

II. Je dána hyperbola 4*(x-2)'2 -y'2 -4=0... V průsečících hyperboly s osou y veďte přímky, které mají s hyperbolou právě jeden společný bod. Přímky zapište obecnými rovnicemi.

Celý den jsem počítal fyziku, proto už mi to na hyperbolu vůbec nemyslí.
Čím detailnější řešení, tím lépe
Předem děkuji za postup a řešení.

MiK1234 · 03. 05. 2010 21:26

Ještě jednou prosím o pomoc, potřeboval bych to mít zítra a vůbec nevim, jak na to....
Díky

zdenek1 · 03. 05. 2010 22:21

↑ MiK1234:
Ten bod A se mi nelíbí. Ale KDYBY $A[2;0]$ .
Průsečík asymptot dává střed
$S[-2;0]$
$a=|SA|=4$
Asymptotu můžeme přepsat do tvaru $y=\frac12(x+2)$ , to znamená, že $\frac ba=\frac12=\frac b4$ , $b=2$
Rovnice hyperboly $\frac{(x+2)^2}{16}-\frac{y^2}4=1$
$e=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt5$
Jedno ohnisko má souřadnice $F[-2+2\sqrt5;0]$
Dosazením za $x$ do rovnice hyperboly
$\frac{(-2+2\sqrt5+2)^2}{16}-\frac{y^2}4=1$
$y=\pm1$
Délka tětivy je 2.

MiK1234 · 04. 05. 2010 16:42

Díky. :)

Chrpa · 04. 05. 2010 17:49

↑ MiK1234:
2)
Průsečíky s osou y = x-ová souřadnice průsečíku = 0
Dosadíme za x = 0 do rovnice hyperboly
$4(0-2)^2-y^2-4=0\nl16-y^2-4=0\nly=\pm\sqrt{12}$
Průsečíky jsou:
$P_1(0;\,\sqrt{12})\nlP_2(0;\,-sqrt{12})$
Rovnice přímek procházející průsečíky budou:
$y=kx+q$ -dosadíme průsečík P_1 (jeho x-ovou a y-ovou souřadnici a dopočteme q
$\sqrt{12}=0\cdot k+q\nlq=\sqrt{12}$
Rovnice přímky bude:
$y=kx+\sqrt{12}$ -toto dosadíme do rovnice hyperboly
$4x^2-16x-(kx+sqrt{12})^2+12=0$ - úpravou dospějeme k rovnici (úpravu si udělej za DÚ - nechce se mi to vypisovat)
$x^2(4-k^2)-x(16+2\sqrt{12}\cdot k)=0$ - aby hledaná přímka měla s touto hyperbolu jeden společný bod, pak diskriminant této kvadr. rovnice musí být nula (D=0)
$(16+2\sqrt{12}\cdot k)^2-4(4-k^2)\cdot 0=0$ - úpravou:
$3k^2+4\sqrt{12}\,k+16=0\nlk=-\frac{4\sqrt3}{3}$
Rovnice přímky bude:
$y=-\frac{4\sqrt3x}{3}+2\sqrt3\nl4\sqrt3x+3y-6\sqrt3=0$
Obdobně pro druhou přímku procházející průsečíkem P_2
Rovnice bude:
$y=kx-\sqrt{12}$
Pokud budeš dobře počítat mělo by Ti vyjít: