Matematické Fórum

check_drummer · 29. 08. 2010 17:52

Označme podmínku P(n) jako:
Kořeny obecné rovnice n-tého stupně nejsou vyjádřitelné pomocí "elementárních" operací (+,-,*,/, odmocnina) mezi koeficienty této rovnice.
Např. platí P(5).

Otázka: existuje obecná rovnice n-tého stupně taková, že platí P(n) a že kořeny této rovnice jsou vyjádřitelné pomocí "elementárních" operací (+,-,*,/, odmocnina) mezi koeficienty této rovnice a mezi kořeny nějakých rovnic, jejichž stupeň je menší než n?

(Tj. rovnice R sama není řešitelná, avšak pokud můžeme použít ve vyjádření jejich kořenů kořeny jiné neřešitelné rovnice (nebo rovnic) s nižším stupněm, pak již za jejich pomoci rovnice R řešitelná je. Je to taková "relativizovaná" řešitelnost.)

Stýv · 29. 08. 2010 18:07

no pokud mám polynom stupně n>=5 a znám n-1 jeho kořenů (tj. kořeny nějakého polynomu stupně n-1), pak i pátý kořen snandno dopočítám. ale možná jsi to myslel nějak jinak

Olin · 29. 08. 2010 18:45

Vezmu "neřešitelnou" rovnici $P(x) = 0$ (P je polynom stupně alespoň 5) a vytvořím z ní rovnici $P(x^2)=0$ . Tato je taky "neřešitelná" (jinak bychom pomocí ní snadno vyřešili původní rovnici) a má vyšší stupeň než původní, avšak její kořeny zase snadno vyjádříme pomocí kořenů původní rovnice.

check_drummer · 29. 08. 2010 20:34

↑ Olin:

To je pravda, ale $P(x^2)=0$ není obecná ve smyslu "libovolných" koeficientů u mocnin $x^i$ (neřekl jsem, pravda, co mám na mysli pod pojmem "obecná rovnice").
Pod pojmem "obecná rovnice n-tého stupně" mám na mysli rovnici $\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i}=0$ pro obecné hodnoty $a_i$ , $a_n \neq 0$ . A úkolem je vyjádřit kořeny této rovnice dle výše uvedených pravidel. Rovnice $P(x^2)=0$ je jistý speciální případ nějaké obecné rovnice, není však obecná.

Matematické Fórum

#1 29. 08. 2010 17:52

Vyjádření kořenů neřešitelné rovnice za pomocí kořenů jiné rovnice

#2 29. 08. 2010 18:07

Re: Vyjádření kořenů neřešitelné rovnice za pomocí kořenů jiné rovnice

#3 29. 08. 2010 18:45

Re: Vyjádření kořenů neřešitelné rovnice za pomocí kořenů jiné rovnice

#4 29. 08. 2010 20:34

Re: Vyjádření kořenů neřešitelné rovnice za pomocí kořenů jiné rovnice

Zápatí