Matematické Fórum

Ebola · 05. 01. 2011 21:54

Ahoj, mám tady takový příklad se kterým si pořád nějak neumím poradit... Bude to podle mě ale zatraceně jednoduché, jen nevím ten fígl:

Pohyb částice je dám rovnicemi: $x = A*cos w*t$ $y = B*cos2w*t$ Určete rovnici a tvar její trajektorie.

...vyjít to má $y = \frac{2Bx^2}{A^2}-B$ ... parabola

Díky

zdenek1 · 05. 01. 2011 22:04

↑ Ebola:
$x=A\cos\omega t$ , $y=B\cos2\omega t$
$\frac xA=\cos\omega t$ , $\frac yB=\cos2\omega t=2\cos^2\omega t-1$
$\frac yB=2\left(\frac xA\right)^2-1$

Ebola · 06. 01. 2011 00:35 — Editoval Ebola (06. 01. 2011 05:48)

Jejda a já to půl dne zkoušel derivovat, integrovat, krátit... :-D

Jak mam při takovýchto příkladech přemýšlet abych se dostal k závěru? Nemám problém něco zintegrovat ani zderivovat, ale hodně mě trápí že jsem nedostatečně seznámen s tím "jak to funguje".

Pak mám třeba další příklad o částici "Částice se pohybuje přímočaře z bodu A do bodu B se zrychlením a které je určeno vztahem $a = c_1 - c_2 x$ (c jsou kladné konstanty a x je vzdálenost od A. Cílem je určit vzdálenost AB a maximální rychlost. Je na to nějaký fígl který by mi to pomohl obrazně pochopit, nebo nějaká poučka. vztahy že v = ds/dt a nebo integrál a znám. Jen mi nějak nedochází ten postup k tomu...

Mohl by jsi mi to prosimtě v pár větách nějak přiblížit?

EDIT 05:30: Tak jsem nad tím druhým příkladem celou noc přemýšlel, počítal a nikam nedošel. Črtnul jsem si obrázek. Ze zadání jsem pochopil že nebudu počítat dráhu, resp rozdíl dráhy, ale právě to x které je v rovnici. Pak jsem přemýšlel dál a vymyslel jsem že ona částice bude svištet a čím dál bude, tím více bude brzdit až se zastaví v B. Tam bude v=0. Tak jsem to integroval a rozepsal, ale tady jsem zkončil, x mi vždycky vyleze jinak než kolik vylézt má ... ( $\frac {2c_1}{c_2}$ )

zdenek1 · 06. 01. 2011 10:46

↑ Ebola:
Já bych tohle řešil přes energii.
Upřesnění zadání: V bodě A je nulová rychlost. V bodě B je také nulová rychlost.
Zvolíme soustavu souřadnic tak, že $A[0;0]$ , $B[b;0]$
Na částici působí síla $F=ma=m(c_1-c_2x)$ a ta vykoná práci, která se rovná změně kinetické energie.
$W=\int_0^bFdx=m\int_0^b(c_1-c_2x)dx=m(c_1b-\frac12 c_2b^2)$
$\Delta E_k=0$ , takže
$m(c_1b-\frac12 c_2b^2)=0$

Rumburak

↑ Ebola:
Jinou možností, jak postupovat u druhé úlohy, by bylo uvědomit si, že podmínka $a = c_1 - c_2 x$ představuje diferenciální rovnici
$x'' = c_1 - c_2 x$ (derivuje se podle času), která má obecné řešení

$x(t) = \frac{c_1}{c_2}\,+\,A \sin (\omega t \,+\, \varphi)$ ,

kde $\omega = \sqrt{c_2}$ a $A,\, \varphi$ jsou integrační konstanty, které určíme z počátečních podmínek

$x(0) = \frac{c_1}{c_2}\,+\,A \sin \varphi \,= \,0$ , $x'(0) = \omega A \cos \varphi \,=\, 0$ (ta druhá říká, že počáteční rychlost je 0).
Pokud má jít o skutečný pohyb, bude $\cos \varphi \,=\, 0$ a tedy možno volit $\varphi = \frac{\pi}{2}$ , takže

$x(t) = \frac{c_1}{c_2}\,+\,A \sin (\omega t \,+\, \frac{\pi}{2}) = \frac{c_1}{c_2}\,+\,A \cos \omega t$

a z první poč. podmímínky dostaneme $A = -\frac{c_1}{c_2}$ . Zákon dráhy pohybu bude mít proto výsledný tvar

$x(t) \,= \, \frac{c_1}{c_2}$1\,-\,\cos \omega t$$ ,

odtut už snadno úlohu dořešíme.

Ebola · 06. 01. 2011 22:12 — Editoval Ebola (06. 01. 2011 22:24)

↑ zdenek1:
Tak jsem to udělal podle tebe. Zanedbal jsem hmotnost a vytknul jsem onu vzdálenost a dostal 2 kořeny. Jeden pro b=0 (nemá smysl) a pak druhý $b = \frac {2c_1}{c_2}$ s tím že pokud je A = [0,0] tak velikost vzdálenosti bude právě b a vyšlo to jak má, díky :-)

Teď už se jen snažím dořešit jaká bude maximální rychlost (její hodnota). Zintegroval jsem to zrychlení podle x a posléze i podle času a teď tápu kdy bude výsledek největší a jaká bude jeho hodnota...

EDIT: Z rovnic je jasné, že nejvyšší rychlost bude v čase skoro 0, protože čím větší x, tím více bude brzdit. Žeby přes limitu x->0?

zdenek1

↑ Ebola:
Z rovnice pro práci do bodu o souřadnici $[x;0]$
$m(c_1x-\frac12 c_2x^2)=\frac12mv^2(x)$
$v(x)=\sqrt{2c_1x-c_2x^2}$
Teď můžeš určit normálně extrémy funkce $v(x)$ pomocí derivací, nebo přemýšlet.
Funkce odmocnina je rostoucí v celém def. oboru, takže maximum bude tam, kde je maximum vnitřní funkce.
Vnitřní funkce je $2c_1x-c_2x^2$ , což je kv. fce. Graf je parabola otevřená dolů, takže maximum je ve vrcholu.
Vrchol je ve středu mezi kořeny, tj. $x_V=\frac{c_1}{c_2}$
Tomu odpovídá $v_{max}=\sqrt{2c_1\frac{c_1}{c_2}-c_2(\frac{c_1}{c_2})^2}=\sqrt{\frac{c_1^2}{c_2}}$