Matematické Fórum

Maxim K

Ahoj.
Par dni pred zkouskou jsem si (nejspise z duvodu pretlaku informaci na jednu neprospanou minutu) uvedomil, ze mam velice nezdravy zmatek v tematu derivaci nespojitych funkci. Obvykle jsem postupoval tak, ze jsem si nasel priklad a podle korektniho vysledku uvedeneho pod nim, jsem se snazil odvodit, jak se podobna vec ma resit. Bohuzel jsem postupem casu prisel na to, ze muj obecny postup nefunguje a proto se musim ptat. Vim, ze pravidla hovori o jedne otazce na tema, nicmene prislo by mi trochu matouci (zejmena pro me), kdybych sve otazky oddelil.

Jedna se mi zejmena o funkce, ktere jsou zadane v cele casti. Napriklad treti priklad zde:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/ … 1/mi-c.pdf

Pokud je mi dobre znamo, cela cast je spojita zprava, nespojita zleva. Proto nerozumim zejmena tomu, proc je funkce nespojita v $-1$ zprava, jak je uvedeno dole ve vysledku.

Nyni k samotne derivaci - priznam se, nemam tuseni, proc je vysledek takovy, jaky je, zejmena v rozlozeni intervalu. Chapu, ze v 0 je derivace problemova, proto je potreba zde specialne provest kontrolu, ale konkretni hodnoty na ostatnich mistech obou intervalu - tomu nerozumim. Vychazim z predpokladu, ze cela cast nam hodnotu proste "zaokrouhli", tudiz se na oboru hodnot funkce arccos dostane na nejake prirozene cislo. Proc je ale takovy a takovy konkretni vysledek pro ony dva intervaly, na to jsem zatim neprisel. Zejmena pak ta 0 pro zaporny interval.

Velice podobne napriklad zde: opet treti priklad
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/ … 5/mi-c.pdf

Nerozumim, proc je pro hodnoty (2k + 1)pi predpis dervace 0, zatimco pro (2k-1)pi je $-cosx$ - oba vyrazy jsou prece liche nasobky pi.

Tento pripad - opet treti priklad:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/ … 1/mi-b.pdf

Proc se nespojitost funkce tyka pouze lichych cisel? Protoze pokud dosadime sude cislo, funkce sinus bude rovna hodnote 0, tudiz se cely vyraz "vynuluje"? Je to spravna myslenka?
A dalsi otazka k tomuto prikladu - proc derivace pro $R bez Z$ obsahuje samotne $sin(pi/2)x$ ? Z toho mi vyplyva, ze se z clenu, ktery by derivovan, stala jednicka - proc?

Dekuji predem za jakoukoliv odpoved. Uvedl jsem zde tolik prikladu, abych dostatecne vysvetlil, cemu se snazim prijit na kloub. Verim, ze me kazda rada posune o neco blize pochopeni. Dekuji jeste jednou.

halogan · 04. 02. 2011 15:57

↑ Maxim K:

Alespoň na část odpovím:

f(x) = [x] je sice spojitá zprava, ale to protože f(x) = x je rostoucí funkce. Když se podíváte na ty hodnoty v odkazu, tak v -1 to je [2] arcsin(-1). Když ale x jakkoli málo zvětšíte od -1 směrem k nule, celá část ihned "skočí" na jedničku. Proto tam je nespojitá zprava.

Kdyžtak si ty jednotlivé úlohy hoďte do zvlášť témat, ať se to tu neplete v jednom. Nebo zde budem řešit jen to jedno a podle schopností můžete přidávat další (už ale do zvlášť témat).

Maxim K · 04. 02. 2011 16:26

↑ halogan:
Dekuji, rozumim. Jen hloupa otazka, proc po priblizeni se k nule skoci na jednicku? Proc ne na nulu? Myslim, ze cela cast ma obor hodnot v mnozine Z. Pokud by ma domnenka byla spravna, pak bych nejspis zacinal rozumet tem ruznym derivacim pro ruzne intervaly def. oboru. Pletu se?
A tykejte mi, prosim.

Maxim K · 05. 02. 2011 13:09

Byl by, prosim, nekdo tak laskav a pomohl mi "dopochopit" prvni priklad? Nejake dalsi myslenky jsem nastinil v poslednim prispevku. Pro dalsi otazky si pripadne zalozim dalsi tema. Dekuju predem.

halogan · 05. 02. 2011 14:17

↑ Maxim K:

Pro (-1, 0) nám ta celá část dává jedničku, takže derivujeme jen ten arcsin, to je jasné?

Pro (0, 1) má arccos funkční hodnoty v intervalu (0, pi/2), takže když to pronásobíme s 2/pi), tak dostáváme hodnoty mezi 0 a 1, a jejich celá část je nula. Proto na (0, 1) bude ta funkce konstantní nulová, derivace tedy též nulová.

Maxim K

Ano, dekuji. Pochopeno.

Edit: Ne, prece jen dotaz. Cela cast mezi (-1,0) je preci -1. V tomto bode ma arccos f.hodnotu pi. Po zkraceni mi v cele casti zustane 2. Proc v tomto nemam pravdu? (podle vysledku ji nemam :))

halogan · 07. 02. 2011 00:02

↑ Maxim K:

On tu hodnotu pí ale má jen a pouze v bodě -1, pro x větší než -1 už dostanete v celé části hodnotu ostře menší než 2. Proto tam není spojitá.

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2011 15:49 — Editoval Maxim K (04. 02. 2011 15:50)

Derivace nespojitych funkci

#2 04. 02. 2011 15:57

Re: Derivace nespojitych funkci

#3 04. 02. 2011 16:26

Re: Derivace nespojitych funkci

#4 05. 02. 2011 13:09

Re: Derivace nespojitych funkci

#5 05. 02. 2011 14:17

Re: Derivace nespojitych funkci

#6 05. 02. 2011 14:17 — Editoval Maxim K (05. 02. 2011 14:34)

Re: Derivace nespojitych funkci

#7 07. 02. 2011 00:02

Re: Derivace nespojitych funkci

Zápatí