Matematické Fórum

MladinkaBc

Prosím proč limita 1/n na k diverguje pro k mensí rovno 0?

OiBobik

↑ MladinkaBc:

To snad ani není pravda, ne? Pro $k=0$ platí $\lim_{n \to \infty} $\frac{1}{n}$^k=\lim_{n \to \infty} 1 = 1$

Diverguje snad jen pro $k<0$ , protože pak $\lim_{n \to \infty} $\frac{1}{n}$^k=\lim_{n \to \infty} \frac {1} {$\frac{1}{n}$^{-k}}=\lim_{n \to \infty} $ \frac {1} {\frac{1}{n}}$^{-k}=\lim_{n \to \infty} n^{-k}=+\infty$ , protože -k je v tom případě kladný exponent.

EDIT-pozn: Doufám, že jsem správně pochopil obrat "limita (1/n)^k diverguje" jako "posloupnost (1/n)^k je divergentní", jestli je to myšleno jinak, tak se omlouvám.
Taky nevím, nakolik je to moje vysvětlení postačující, správně by se asi pak mělo argumentovat tím, že funkce $f(x)=x^k, k>0$ je rostoucí a není shora omezená (resp. tohoto využít při dokazování z definice limity, že daná limita je $+\infty$ , ale myslím, že to už je zřejmé.

MladinkaBc · 24. 03. 2011 20:46

a je to stejne pokud k je jen u n?

OiBobik · 24. 03. 2011 20:48

↑ MladinkaBc:

Jistě, protože $$ \frac{1}{n} $^k= \frac{1^k}{n^k} = \frac{1}{n^k}$ .

MladinkaBc · 24. 03. 2011 20:51

ale kbyby bylo k zaporne tak nam da -1, cili limita pro k zaporne bude -nekonecno?

OiBobik

↑ MladinkaBc:

Teď asi nechápu dotaz. případ $k<0$ jsem rozebral nahoře a v tom případě posloupnost diverguje k $+\infty$ .

co by nám jako mělo "dát" -1?

MladinkaBc · 24. 03. 2011 21:00

Asi ti budu pripadat uplne blba. ale jak vyresis tu limitu pro kmensi nez 0 kdyz je to 1/(n na k)

OiBobik

↑ MladinkaBc:¨

Tak asi takhle:

Věříš mi, že $\lim_{n \to \infty} n^a=+\infty$ pro $a>0$ ? Jestli ne, dá se to dokázat, ale je to celkem zbytečné psát, pokud víš, že to tak je.

No a jestli ano, pak si stačí jen uvědomit, že $\forall k \in \mathbb{R}: \frac{1}{n^k}=\frac{1}{ \frac{1}{n^{-k}}}=n^{-k}$ . Pak už nutně dojdeme k závěru, že $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^k}=\lim_{n \to \infty}n^{-k}$ . No a tady už jde vidět, že pro $k<0$ je $-k$ kladné, tudíž $\lim_{n \to \infty}n^{-k}=+\infty$ .

MladinkaBc · 24. 03. 2011 21:51

Konečne mi to doslo, dekuji.
Jeste dotaz k tomu jak to bude vypadat kdyz pro pripad kdy je k>0 budu aplikovat integralni kriterium?

OiBobik · 24. 03. 2011 21:54

↑ MladinkaBc:

integrální kritérium?? bavíme se o limitě nebo o řadě?

claudia · 24. 03. 2011 21:58

Přimlouvám se za korektní formulaci zadání. Dokud člověk nedokáže ani zformulovat zadání úlohy, nemůže čekat, že pochopí, jak se řeší. Tedy s výjimkou jedné speciální úlohy, která má řešení 42.

MladinkaBc · 24. 03. 2011 22:27

Omlouvam se, myslim tim v tomto případě řadu $\sum \frac{1}{n^k}, k>0$

claudia

Výborně. V tom případě se dá použít předchozí výsledek :-) Pro $k\leq0$ není splněna nutná podmínka konvergence (limita posloupnosti členů nejde k nule). A v případě té řady tedy vyjde divergence i pro k nulové.

Jinak pro $k>0$ se dá ukázat, že ještě pro $k=1$ řada diverguje (viz harmonická řada), tedy divergují i všechny řady s $k\in(0, 1)$ . Naopak pro $k>1$ již řada konverguje.

MladinkaBc · 24. 03. 2011 22:57

Mám tuto konvergenci dokázat pomocí integrálního kritéria. Jak to bude vypadat?

claudia

Bohužel tak daleko jsem ještě ve svém vzdělání nepokročila. Mohu tedy nejvýše hádat, jak by se to možná, při troše štěstí, vzdáleně přibližně mohlo provádět.

Chceme ukázat, že pro k>1 řada $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k}$ konverguje. To je, dle integrálního kritéria, ekvivalentní tomu, že integrál $\int_1^{\infty}\frac{1}{x^k}\mathrm{d}x$ konverguje. To je ekvivalentní tomu, že $\lim_{b\to\infty}\int_1^{b}\frac{1}{x^k}\mathrm{d}x$ je vlastní.

$\lim_{b\to\infty}\int_1^{b}\frac{1}{x^k}\mathrm{d}x=\lim_{b\to\infty} -\frac{1}{k-1}\frac{1}{b^{k-1}}+\frac{1}{k-1}\frac{1}{1^{k-1}}=\lim_{b\to\infty} \frac{1-\frac{1}{b^{k-1}}}{k-1}=\frac{1}{k-1}\in\mathbb{R}$ , tedy požadovaná podmínka je splněna.

Znovu upozorňuji, že vše, co o tom vím, vím z Google :-)

jarrro · 25. 03. 2011 13:16 — Editoval jarrro (25. 03. 2011 13:17)

↑ claudia:v limite by mal byť integrál len po b nie až po nekonečno,ale to je asi len preklep

claudia · 25. 03. 2011 13:31

↑ jarrro:

Děkuji, opraveno :-)

Matematické Fórum

#1 24. 03. 2011 19:46 — Editoval MladinkaBc (24. 03. 2011 19:47)

výraz

#2 24. 03. 2011 20:39 — Editoval OiBobik (24. 03. 2011 20:46)

Re: výraz

#3 24. 03. 2011 20:46

Re: výraz

#4 24. 03. 2011 20:48

Re: výraz

#5 24. 03. 2011 20:51

Re: výraz

#6 24. 03. 2011 20:55 — Editoval OiBobik (24. 03. 2011 20:56)

Re: výraz

#7 24. 03. 2011 21:00

Re: výraz

#8 24. 03. 2011 21:13 — Editoval OiBobik (24. 03. 2011 21:14)

Re: výraz

#9 24. 03. 2011 21:51

Re: výraz

#10 24. 03. 2011 21:54

Re: výraz

#11 24. 03. 2011 21:58

Re: výraz

#12 24. 03. 2011 22:27

Re: výraz

#13 24. 03. 2011 22:30 — Editoval claudia (24. 03. 2011 22:42)

Re: výraz

#14 24. 03. 2011 22:57

Re: výraz

#15 25. 03. 2011 00:55 — Editoval claudia (25. 03. 2011 13:30)

Re: výraz

#16 25. 03. 2011 13:16 — Editoval jarrro (25. 03. 2011 13:17)

Re: výraz

#17 25. 03. 2011 13:31

Re: výraz

Zápatí