Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#26 19. 11. 2011 14:36

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑↑ Andrejka3:

Píšeš, že $f^{-1}(8)=4$. Ale $f(4)=16$.

Offline

 

#27 19. 11. 2011 14:37

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑↑ vanok:
viz příspěvek č.2


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#28 19. 11. 2011 14:38

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Pavel Brožek:
No tak to je v pytli.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#29 19. 11. 2011 14:42

vanok
Příspěvky: 14320
Reputace:   740 
 

Re: Další izomorfní algebry

Ahoj↑↑ Pavel Brožek:,
A co sa stane ak i=2 (inac i>=2)?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#30 19. 11. 2011 14:48

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ vanok:

Nerozumím, co by se mělo stát. Např.

$f(36)=f(1\cdot2^2\cdot3^2)=1\cdot2^{\lfloor\frac 22\rfloor}\cdot3^{2\cdot2+(2 \mod 2)}=1\cdot2^{1}\cdot3^{4+0}=162$

Offline

 

#31 19. 11. 2011 14:50

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Andrejka3:

Proč? Odvodit ten vztah je úplně jednoduché. Stačí složit isomorfismus $g_1:4\mathbb{N}\to3\mathbb{N}$ s isomorfismem $g_2:3\mathbb{N}\to2\mathbb{N}$, přičemž isomorfismy g používám přesně takové, jaké jsme tu popsali pro nesoudělná čísla.

Offline

 

#32 19. 11. 2011 14:50 — Editoval Andrejka3 (19. 11. 2011 14:52)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Pavel Brožek:
Takže myslíš si, že to je v pořádku? Že jsme to udělali dobře?
Zrovna jím a budu mít prostor na pořádné psání až kolem večera.
Edit: Tak fajn, to jsem ráda, mám zase povznesenou náladu:)


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#33 19. 11. 2011 14:55 — Editoval vanok (19. 11. 2011 15:02)

vanok
Příspěvky: 14320
Reputace:   740 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Pavel Brožek:, to preto ze si pisal (i mod2), v tvojom vzorci, vidim teraz ako to chapat.
A este f(8) a f(4) su rozne ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#34 19. 11. 2011 15:00

vanok
Příspěvky: 14320
Reputace:   740 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Andrejka3: dakujem


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#35 19. 11. 2011 15:00

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ vanok:

Tím jsem myslel zbytek po dělení i dvěma. To tedy nijak neomezuje i.

↑ Andrejka3:

Dá se snadno určit i inverzní zobrazení $f^{-1}:2\mathbb{N}\to4\mathbb{N}$

$f^{-1}(a\cdot2^i\cdot3^j)=a\cdot2^{2i+(j\mod2)}\cdot3^{\lfloor\frac j2\rfloor}$

a dá se ověřit, že složení $f\circ f^{-1}$ je identita.

Já věřím, že jsme nikde neudělali chybu :-). Ale kdyby to ještě někdo potvrdil, byl bych rád.

Offline

 

#36 19. 11. 2011 15:05

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ vanok:

$f(4)=2\nl
f(8)=6$

Takže jsou různé.

Offline

 

#37 19. 11. 2011 15:14

vanok
Příspěvky: 14320
Reputace:   740 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Pavel Brožek:, ok. Dakujem.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#38 19. 11. 2011 15:26 — Editoval Pavel Brožek (19. 11. 2011 15:37)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

Tak se zdá, že to nefunguje :-(

$f(8\cdot24)=f(192)=72\neq324=6\cdot54=f(8)\cdot f(24)$

Edit: Problém je už v tom, že neplatí ↑↑ toto: (platilo by to, kdyby a bylo nesoudělné s m a n, jenže to nejde zaručit). Takže jsme zase skoro na začátku…

Offline

 

#39 19. 11. 2011 16:32

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Pavel Brožek:
Ve sbírce není napsané řešení.
Uvidíme, třeba na to ještě přijdeme.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#40 19. 11. 2011 16:54 — Editoval Pavel Brožek (19. 11. 2011 17:07)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

Domněnka (z velké části shodná s tím, co uvádíš v prvním příspěvku):

Pokud čísla m a n mají prvočíselné rozklady ($p_i$ je i-té prvočíslo, tj. $p_1=2$, $p_2=3$ a tak dále)

$m=p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2}\cdot \ldots\cdot p_k^{r_k}\cdot\ldots\nl
n=p_1^{s_1}\cdot p_2^{s_2}\cdot \ldots\cdot p_k^{s_k}\cdot\ldots$

(od určitého indexu tedy budou r a s nulová) a existuje bijekce $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ taková, že $s_i=r_{\sigma(i)}$ pro každé $i\in\mathbb{N}$, pak funkce $f:m\mathbb{N}\to n\mathbb{N}$
taková, že

$f(p_1^{t_1}\cdot p_2^{t_2}\cdot \ldots)=p_1^{t_{\sigma(1)}}\cdot p_2^{t_{\sigma(2)}}\cdot \ldots,$

je isomorfismus.

Offline

 

#41 19. 11. 2011 17:18

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Pavel Brožek:
Ona se liší v tom, že povoluješ, aby v rozkladu byla třeba 2 u obou čísel i s jinou mocninou, že?
Společná prvočísla nemusí mít stejnou mocninu.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#42 19. 11. 2011 17:29

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Andrejka3:

Ano, přesně tak.

Snažil jsem se to také zformulovat tak, aby nebylo těžké dokázat, že to je isomorfismus.

Offline

 

#43 19. 11. 2011 17:59

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

Napadl mě trochu nový pohled na věc.

Mějme danou posloupnost nezáporných celých čísel $r=\(r_1,r_2,\ldots\)$ s konečným počtem nenulových členů. Pak definujme algebru $A_r$ takovou, že její prvky budou všechny posloupnosti $\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$ nezáporných čísel takových, že $a_i\ge r_i, i\in\mathbb{N}$ a počet nenulových $a_i$ je konečný. Operaci + definujme jako běžné sčítání posloupností.

Ukažme nyní, že algebra $A_r$ je isomorfní algebře $m\mathbb{N}$, kde $m=p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2}\cdot \ldots$. Budeme ověřovat, že isomorfismem je následující zobrazení $F:m\mathbb{N}\to A_r$:

Jestliže je $x\in m\mathbb{N}$, pak jeho prvočíselný rozklad můžeme napsat jako $x=p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdot \ldots$, kde $x_i\ge r_i, i\in \mathbb{N}$. Číslu $x$ pak přiřadíme posloupnost $\{x_i\}_{i=1}^{\infty}$.

Je snad evidentní, že f je bijekce. Dokažme tedy, že zachovává operaci.

$F(a\cdot b)&=F\((p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot \ldots)\cdot(p_1^{b_1}\cdot p_2^{b_2}\cdot \ldots)\)=\\
&=F(p_1^{a_1+b_1}\cdot p_2^{a_2+b_2}\cdot \ldots)=\\
&=\(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots\)=\\
&=\(a_1,a_2,\ldots\)+\(b_1,b_2,\ldots\)=\\
&=F\(p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot \ldots\)+F\(p_1^{b_1}\cdot p_2^{b_2}\cdot \ldots)\)=\\
&=F(a)+F(b)$

Převedl jsem tak problém na to, že máme zjistit, pro jaké různé posloupnosti r a s jsou algebry $A_r$ a $A_s$ isomorfní. Z tohoto pohledu se zdá tvrzení ↑ Pavel Brožek: skoro triviální.

Offline

 

#44 19. 11. 2011 18:31

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Pavel Brožek:
Hezké.
Například algebra 2N je izomorfní algebře posloupností, jež mají první člen větší nebo roven jedné.
Algebra 4N je izomorfní algebře posl., jež mají první člen větší nebo roven dvěma. Hmmm.
Pravda, že usnadní tento pohled důkazu toho tvrzení.
Myslela jsem, že mě teď napadne třeba důvod proč (ne)jsou výše zmíněné algebry izomorfní.
Napsala jsem to správně?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#45 19. 11. 2011 18:32

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Andrejka3:

Ano, tak je to myšlené. Zdá se mi ale, že to jen usnadňuje najít ty isomorfismy, ale nevím, jestli to bude užitečné k důkazu, že isomorfismus neexistuje.

Offline

 

#46 19. 11. 2011 18:42

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

Už jen spíš drobnost:

Každá algebra $A_r$ je isomorfní nějaké algebře $A_s$, kde s je nerostoucí posloupnost (to tvrdím na základě ↑ Pavel Brožek:). Můžeme tak zkoumat jen algebry $A_s$, kde s je nerostoucí. Mohlo by se ukázat, že libovolné dvě různé takové algebry nebudou isomorfní.

Offline

 

#47 19. 11. 2011 18:45

vanok
Příspěvky: 14320
Reputace:   740 
 

Re: Další izomorfní algebry

Este jeden problem: Teraz mi napadlo  ci existuju nejake automorfismy v takychto strukturach?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#48 19. 11. 2011 19:01 — Editoval Andrejka3 (19. 11. 2011 19:08)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Pavel Brožek:
Jo takto :)
Nad tím jsem dumala docela dlouho než mi to došlo.

Ad Vanok:
Automorfismy jsou, pokud si dobře pamatuji, bijektivní endomorfismy, tj. isomorfismy na stejný nosič?

Každopádně, kdyby někdo hledal tu sbírku nebo hezký výklad algebry, doporučuji
heslo google: trlifaj Nalg026
popř. algebra sbírka nebo tak něco.
EDIT: Vlastně není mi jasné, že je jednoduché dokázat, že jiné algebry nejsou izomorfní.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#49 19. 11. 2011 19:08

vanok
Příspěvky: 14320
Reputace:   740 
 

Re: Další izomorfní algebry


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#50 19. 11. 2011 19:22

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Další izomorfní algebry

↑ Andrejka3:

To já také nevím, jak dokázat, že jsou jiné neisomorfní. Jen bych to trochu čekal, proto jsem se snažil problém přeformulovat tak, aby všechny algebry, které budeme uvažovat, byly neisomorfní. Je možné, že se ukáže, že některé (možná i všechny) isomorfní jsou.

Založil jsem téma, které by nám možná mohlo pomoct.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson