Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 02. 2012 11:52

Aidam
Zelenáč
Příspěvky: 8
Reputace:   
 

Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

Zdravím, mám úkol do školy odvodit vzorec pro výpočet poločasu rozpadu:

Hmotnost izotopu radia je 133 g. Jeho poločas rozpadu je 2,7minut. Určete kolik g zbyde z původního množství daného izotopu Ra za 19 minut. Na první pohled to je jednoduchý a asi i je, vypočítal jsem rozpadovou konstantu λ = ln2/T.

Tedy ln2/2,7 a pak dosadit do vzorce N=N0*exp(λ-t). Jenže musíme odvodit vzorec pomocí posloupnosti a to si ze střední školy už moc nepamatuji a nevím jak se to dá odvodit... Aby to mohlo vyjít dělitelné. Budu rád za nápady. Díky moc :-)

Offline

 

#2 23. 02. 2012 12:49

Hanis
Veterán
Místo: Brno
Příspěvky: 2650
Škola: PřF MUNI - Statistika a analýza dat
Pozice: Děvče pro všechno
Reputace:   148 
 

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

Ahoj,
jedná se o obyčejnou geometrickou posloupnost, stačí napsat "poločas rozpadu" do magického políčka hledat a určitě ti to pomůže :-)
Např:
Poločas rozpadu-GP

Offline

 

#3 23. 02. 2012 14:03 — Editoval Rumburak (23. 02. 2012 14:39)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

Zdravím také. Soudím, že co se má odvodit, není vzorec pro výpočet poločasu rozpadu, ale vzorec N=N0*exp(-λt).

Nechť  $N(t)$ je množství sledované látky v okamžiku $t \ge 0$.  Je-li  poločas jejího rozpadu $T \in (0, +\infty)$, znamená to, že
pro libovolné  $\tau \ge 0$  platí  $N(\tau + T) = \frac {N(\tau)}{2}$ ,  obecněji  $N(\tau + nT) = \frac {N(\tau)}{2^n},    n = 0, 1, 2, 3, ...  $ ,
jak snadno dokážeme indukcí.
Odhadněme hodnotu $N(\tau + (T/2))$.  Podle předešlého musí být   $N(\tau + 2(T/2)) = N(\tau + T) = \frac {N(\tau)}{2}=\frac {N(\tau)}{(\sqrt{2})^2}$
a proto není obtížné přijmout předpokled, že  $N(\tau + (T/2))=\frac {N(\tau)}{\sqrt{2}}$ a ještě ho zobecnit na $N(\tau + xT)=\frac {N(\tau)}{2^x}$
pro obecné $x \ge 0$ (nejen pro x = n = 0, 1, 2, ...   nebo  x = 1/2) .  Položíme-li  zde $\tau = 0,  xT = t$ , máme

$N(t)=\frac {N(0)}{2^{\frac{t}{T}}} = N(0)\,\(\frac{1}{2}\)^{\frac{t}{T}} = N(0) \exp \(\frac{t}{T} \ln \frac{1}{2}\)=N(0) \exp \(-\frac{\ln 2}{T}\cdot t \) = N(0)\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ ,

jestliže  $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$.  Je to ono ?

Offline

 

#4 23. 02. 2012 15:02

Aidam
Zelenáč
Příspěvky: 8
Reputace:   
 

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

Ahoj, díky moc za odpovědi, Rumburaku, právě vztah $N0\mathrm{e}^{-\lambda t}$ mi zakázali a měl jsem na to přijít právě pomocí té posloupnosti, oběma moc děkuju za odpověď. Asi jdu dostudovat posloupnosti :-D

Offline

 

#5 23. 02. 2012 16:10

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

Aha. V tom případě se domnívám, že není dohromady co odvozovat.  Poločas rozpadu je  2,7minut,  zajímá nás, co zbyde za  19 minut.

Offline

 

#6 23. 02. 2012 17:10

Aidam
Zelenáč
Příspěvky: 8
Reputace:   
 

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

Aha, já jsem to rval do vzorce $a_{\frac{19}{2.7}}=133\cdot q^{\frac{19}{2.7}-1} $ a nevzcházelo to ... díky moc Messieu Rumburak

Offline

 

#7 09. 06. 2022 22:01

CUllblade
Příspěvky: 41
Reputace:   
 

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

Jaký je poločas rozpadu radioaktivního prvku 12N, rozpadne-li se 7/8 tohoto
radioaktivního prvku za 33 minut?

Offline

 

#8 09. 06. 2022 23:10

zdubius
Zelenáč
Příspěvky: 16
Škola: FMFI UK
Reputace:   
 

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

↑ CUllblade:
Polčas rozpadu je doba, za ktorú sa rozpadne polovica sledovaného množstva.
Po uplynutí 1 polčasu rozpadu sa rozpadne 1/2 množstva, a teda zostáva ešte polovica.
Po uplynutí ďalšieho polčasu rozpadu sa rozpadne polovica zo zostávajúceho množstva, čo je polovica z polovice, teda 1/4. Celkovo sa za dva polčasy rozpadu rozpadne 1/2+1/4=3/4 množstva prvku.
Po uplynutí ďalšieho polčasu rozpadu sa ropadne polovica zo zostávajúceho množstva, teda polovica zo štvrtiny, čiže 1/8. Celkovo je už rozpadnutých 1/2+1/4+1/8=7/8 množstva.

Čas, za ktorý sa rozpadne 7/8 pôvodného množstva prvku, teda zodpovedá 3 polčasom rozpadu.

Offline

 

#9 10. 06. 2022 10:45

misaH
Příspěvky: 12928
 

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

↑ CUllblade:

Ahoj.

Druhý raz si založ vlastnú tému, ináč vznikajú pri odpovediach zmätky.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson