Matematické Fórum

Aidam · 23. 02. 2012 11:52

Zdravím, mám úkol do školy odvodit vzorec pro výpočet poločasu rozpadu:

Hmotnost izotopu radia je 133 g. Jeho poločas rozpadu je 2,7minut. Určete kolik g zbyde z původního množství daného izotopu Ra za 19 minut. Na první pohled to je jednoduchý a asi i je, vypočítal jsem rozpadovou konstantu λ = ln2/T.

Tedy ln2/2,7 a pak dosadit do vzorce N=N0*exp(λ-t). Jenže musíme odvodit vzorec pomocí posloupnosti a to si ze střední školy už moc nepamatuji a nevím jak se to dá odvodit... Aby to mohlo vyjít dělitelné. Budu rád za nápady. Díky moc :-)

Hanis · 23. 02. 2012 12:49

Ahoj,
jedná se o obyčejnou geometrickou posloupnost, stačí napsat "poločas rozpadu" do magického políčka hledat a určitě ti to pomůže :-)
Např:
Poločas rozpadu-GP

Rumburak

Zdravím také. Soudím, že co se má odvodit, není vzorec pro výpočet poločasu rozpadu, ale vzorec N=N0*exp(-λt).

Nechť $N(t)$ je množství sledované látky v okamžiku $t \ge 0$ . Je-li poločas jejího rozpadu $T \in (0, +\infty)$ , znamená to, že
pro libovolné $\tau \ge 0$ platí $N(\tau + T) = \frac {N(\tau)}{2}$ , obecněji $N(\tau + nT) = \frac {N(\tau)}{2^n}, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ,
jak snadno dokážeme indukcí.
Odhadněme hodnotu $N(\tau + (T/2))$ . Podle předešlého musí být $N(\tau + 2(T/2)) = N(\tau + T) = \frac {N(\tau)}{2}=\frac {N(\tau)}{(\sqrt{2})^2}$
a proto není obtížné přijmout předpokled, že $N(\tau + (T/2))=\frac {N(\tau)}{\sqrt{2}}$ a ještě ho zobecnit na $N(\tau + xT)=\frac {N(\tau)}{2^x}$
pro obecné $x \ge 0$ (nejen pro x = n = 0, 1, 2, ... nebo x = 1/2) . Položíme-li zde $\tau = 0, xT = t$ , máme

$N(t)=\frac {N(0)}{2^{\frac{t}{T}}} = N(0)\,$\frac{1}{2}$^{\frac{t}{T}} = N(0) \exp $\frac{t}{T} \ln \frac{1}{2}$=N(0) \exp $-\frac{\ln 2}{T}\cdot t $ = N(0)\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ ,

jestliže $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ . Je to ono ?

Aidam · 23. 02. 2012 15:02

Ahoj, díky moc za odpovědi, Rumburaku, právě vztah $N0\mathrm{e}^{-\lambda t}$ mi zakázali a měl jsem na to přijít právě pomocí té posloupnosti, oběma moc děkuju za odpověď. Asi jdu dostudovat posloupnosti :-D

Rumburak · 23. 02. 2012 16:10

Aha. V tom případě se domnívám, že není dohromady co odvozovat. Poločas rozpadu je 2,7minut, zajímá nás, co zbyde za 19 minut.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Aidam · 23. 02. 2012 17:10

Aha, já jsem to rval do vzorce $a_{\frac{19}{2.7}}=133\cdot q^{\frac{19}{2.7}-1}$ a nevzcházelo to ... díky moc Messieu Rumburak

CUllblade · 09. 06. 2022 22:01

Jaký je poločas rozpadu radioaktivního prvku 12N, rozpadne-li se 7/8 tohoto
radioaktivního prvku za 33 minut?

zdubius · 09. 06. 2022 23:10

↑ CUllblade:
Polčas rozpadu je doba, za ktorú sa rozpadne polovica sledovaného množstva.
Po uplynutí 1 polčasu rozpadu sa rozpadne 1/2 množstva, a teda zostáva ešte polovica.
Po uplynutí ďalšieho polčasu rozpadu sa rozpadne polovica zo zostávajúceho množstva, čo je polovica z polovice, teda 1/4. Celkovo sa za dva polčasy rozpadu rozpadne 1/2+1/4=3/4 množstva prvku.
Po uplynutí ďalšieho polčasu rozpadu sa ropadne polovica zo zostávajúceho množstva, teda polovica zo štvrtiny, čiže 1/8. Celkovo je už rozpadnutých 1/2+1/4+1/8=7/8 množstva.

Čas, za ktorý sa rozpadne 7/8 pôvodného množstva prvku, teda zodpovedá 3 polčasom rozpadu.

misaH · 10. 06. 2022 10:45

↑ CUllblade:

Ahoj.

Druhý raz si založ vlastnú tému, ináč vznikajú pri odpovediach zmätky.

Matematické Fórum

#1 23. 02. 2012 11:52

Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

#2 23. 02. 2012 12:49

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

#3 23. 02. 2012 14:03 — Editoval Rumburak (23. 02. 2012 14:39)

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

#4 23. 02. 2012 15:02

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

#5 23. 02. 2012 16:10

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

#6 23. 02. 2012 17:10

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

#7 09. 06. 2022 22:01

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

#8 09. 06. 2022 23:10

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

#9 10. 06. 2022 10:45

Re: Výpočet poločasu rozpadu - posloupnost

Zápatí