Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 04. 2012 18:49

check_drummer
Příspěvky: 3865
Reputace:   91 
 

Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

Ahoj,
napadl mě tento problém. Zatím jsem nepřemýšlel nad tím, zda a jaké má řešení:

Nechť X:=(A,f) je algebra s jednou (binární) operací f, která není komutativní. Definujme algebru Y:=(A,g), kde g(x,y):=f(y,x). Ptejme se, zda X a Y mohou být izomorfní a za jakých předpokladů toto nastane. Zkoumejme i speciální případ, kdy X,Y jsou grupy.

Sice to není klasická úloha tvaru "najdi / dokaž X", ale bylo by dle mého zajímavé tento problém zkoumat. Možná jsou podmínky dány moc volně, takže "rozumnou" charakteristiku nebude možné najít, možná v případě grup ano.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) check_drummer)

#2 24. 04. 2012 19:46

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

Ahoj ↑ check_drummer:,
Prve myslienky:
ja by som na tvojom mieste skusil nejaky iny zapis pre tvoje binarne operacie.
Klasicky sa pise
f(x,y)=z
ako
x*y=z


ale mozme pisat napriklad ako

y
x = z

Morfismy dvoch binarnych operacii pre charakteristicke operacie sa daju naivne vidiet ak mozme pre kazdu z nich najst totozne zapisy.

Na pokracovanie


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 24. 04. 2012 20:12 — Editoval Andrejka3 (24. 04. 2012 21:40)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

↑ check_drummer:
Ahoj,
zatím jen něco, v noci asi doplním.
Ve sbírce (citace) je příklad:
$\textbf{G}=(G,*,',e)$ grupa a $\varphi: G \rightarrow G$. Platí
$\forall x, y \in G : \; \varphi (x*y) = \varphi (y) * \varphi (x) \; \iff \; \text{zobrazení }\alpha, \alpha(x)=\varphi(x') \text{ je endomorfismus } \textbf{G}$.
Myslím, že se najde nějaká souvislost a analogie. Chci navíc, aby $\varphi$ byl bijektivní. Uvidím. Zatím, ahoj.
edit nevim proc latex failed
edit: Srozumitelnější formulace.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#4 24. 04. 2012 21:06

check_drummer
Příspěvky: 3865
Reputace:   91 
 

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

↑ vanok:
Ahoj, pomocí klasického funkčního zápisu mi přišla definice g jasnější - klasický zápis x*y := y.x by možná nebyl tak zřejmý. Ale je to detail.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#5 24. 04. 2012 21:09 — Editoval check_drummer (24. 04. 2012 21:14)

check_drummer
Příspěvky: 3865
Reputace:   91 
 

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

↑ Andrejka3:
Ahoj, dovoluji si zatím jen upravit výraz, abych viděl celé znění toho tvrzení (místo varpsi píšu varphi)
$\forall x, y \in G : \; \varphi (x*y) = \varphi (y) * \varphi (x) \; \iff $

Není mi jasné, jak je na levé straně implikace kvantifikováno $\varphi$ - asi také existenčním kvantifikátorem, že?

Asi bude nutné to Tvé tvrzení vhodně zeditovat, aby bylo zřejmé, které funkce je která ($\varphi$ vs.$\psi$)


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#6 24. 04. 2012 21:40 — Editoval Andrejka3 (24. 04. 2012 23:05)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

↑ check_drummer:
Editovala jsem to původní znění na srozumitelnější.
Edit, řešení pro grupy: Mějme $\textbf{G}=(A,*,',e)$, $\textbf{H}=(A,*_2,'_2,e)$ grupy
Je $\forall x,y \in A: x*_2y=y*x$, odkud $'_2$ je totéž co $'$.
Buď $\alpha$ automorfismus $G$. Pak $\varphi: \; \varphi(x)=\alpha(x')$ je bijekce na $A$ a platí
$\forall x,y \in A: \varphi(x*y)=\varphi(y)*\varphi(x)$.
Tedy, $\varphi$ je isomorfismus $\textbf{G},\textbf{H}$.
Edit: Vážený kolega constr posílá Odkaz, který je asi to, na co se ptáš. Doufám, že se nebude zlobit, že to zde píši.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#7 26. 04. 2012 21:30

check_drummer
Příspěvky: 3865
Reputace:   91 
 

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

↑ Andrejka3:
Děkuji. Jsem rád, že to nebyl úplný nesmysl, ale že, jak vidím, se tímto pojmem někdo již zabýval. U grup tedy opravdu stačí využít vlastnost existence inverzního prvku, to je pěkné.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#8 30. 04. 2012 20:35

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

↑ check_drummer:,
Mala otazka: ako to je z vektorovym priestorom na lavo a v.p. na pravo?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 30. 04. 2012 21:56

check_drummer
Příspěvky: 3865
Reputace:   91 
 

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

↑ vanok:
Ahoj, co máš prosím na mysli pod "na levo" a "na pravo"? Děkuji.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#10 30. 04. 2012 23:05

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

↑ check_drummer:
podobne ako tu
http://en.wikipedia.org/wiki/Module_%28mathematics%29

ide o v.p na nekomutativnych telasach.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson