Matematické Fórum

check_drummer · 24. 04. 2012 18:49

Ahoj,
napadl mě tento problém. Zatím jsem nepřemýšlel nad tím, zda a jaké má řešení:

Nechť X:=(A,f) je algebra s jednou (binární) operací f, která není komutativní. Definujme algebru Y:=(A,g), kde g(x,y):=f(y,x). Ptejme se, zda X a Y mohou být izomorfní a za jakých předpokladů toto nastane. Zkoumejme i speciální případ, kdy X,Y jsou grupy.

Sice to není klasická úloha tvaru "najdi / dokaž X", ale bylo by dle mého zajímavé tento problém zkoumat. Možná jsou podmínky dány moc volně, takže "rozumnou" charakteristiku nebude možné najít, možná v případě grup ano.

vanok · 24. 04. 2012 19:46

Ahoj ↑ check_drummer:,
Prve myslienky:
ja by som na tvojom mieste skusil nejaky iny zapis pre tvoje binarne operacie.
Klasicky sa pise
f(x,y)=z
ako
x*y=z

ale mozme pisat napriklad ako

y
x = z

Morfismy dvoch binarnych operacii pre charakteristicke operacie sa daju naivne vidiet ak mozme pre kazdu z nich najst totozne zapisy.

Na pokracovanie

Andrejka3

↑ check_drummer:
Ahoj,
zatím jen něco, v noci asi doplním.
Ve sbírce (citace) je příklad:
Ať $\textbf{G}=(G,*,',e)$ grupa a $\varphi: G \rightarrow G$ . Platí
$\forall x, y \in G : \; \varphi (x*y) = \varphi (y) * \varphi (x) \; \iff \; \text{zobrazení }\alpha, \alpha(x)=\varphi(x') \text{ je endomorfismus } \textbf{G}$ .
Myslím, že se najde nějaká souvislost a analogie. Chci navíc, aby $\varphi$ byl bijektivní. Uvidím. Zatím, ahoj.
edit nevim proc latex failed
edit: Srozumitelnější formulace.

check_drummer · 24. 04. 2012 21:06

↑ vanok:
Ahoj, pomocí klasického funkčního zápisu mi přišla definice g jasnější - klasický zápis x*y := y.x by možná nebyl tak zřejmý. Ale je to detail.

check_drummer

↑ Andrejka3:
Ahoj, dovoluji si zatím jen upravit výraz, abych viděl celé znění toho tvrzení (místo varpsi píšu varphi)
$\forall x, y \in G : \; \varphi (x*y) = \varphi (y) * \varphi (x) \; \iff$

Není mi jasné, jak je na levé straně implikace kvantifikováno $\varphi$ - asi také existenčním kvantifikátorem, že?

Asi bude nutné to Tvé tvrzení vhodně zeditovat, aby bylo zřejmé, které funkce je která ( $\varphi$ vs. $\psi$ )

Andrejka3

↑ check_drummer:
Editovala jsem to původní znění na srozumitelnější.
Edit, řešení pro grupy: Mějme $\textbf{G}=(A,*,',e)$ , $\textbf{H}=(A,*_2,'_2,e)$ grupy
Je $\forall x,y \in A: x*_2y=y*x$ , odkud $'_2$ je totéž co $'$ .
Buď $\alpha$ automorfismus $G$ . Pak $\varphi: \; \varphi(x)=\alpha(x')$ je bijekce na $A$ a platí
$\forall x,y \in A: \varphi(x*y)=\varphi(y)*\varphi(x)$ .
Tedy, $\varphi$ je isomorfismus $\textbf{G},\textbf{H}$ .
Edit: Vážený kolega constr posílá Odkaz, který je asi to, na co se ptáš. Doufám, že se nebude zlobit, že to zde píši.

check_drummer · 26. 04. 2012 21:30

↑ Andrejka3:
Děkuji. Jsem rád, že to nebyl úplný nesmysl, ale že, jak vidím, se tímto pojmem někdo již zabýval. U grup tedy opravdu stačí využít vlastnost existence inverzního prvku, to je pěkné.

vanok · 30. 04. 2012 20:35

↑ check_drummer:,
Mala otazka: ako to je z vektorovym priestorom na lavo a v.p. na pravo?

check_drummer · 30. 04. 2012 21:56

↑ vanok:
Ahoj, co máš prosím na mysli pod "na levo" a "na pravo"? Děkuji.

vanok · 30. 04. 2012 23:05

↑ check_drummer:
podobne ako tu
http://en.wikipedia.org/wiki/Module_%28mathematics%29

ide o v.p na nekomutativnych telasach.

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2012 18:49

Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

#2 24. 04. 2012 19:46

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

#3 24. 04. 2012 20:12 — Editoval Andrejka3 (24. 04. 2012 21:40)

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

#4 24. 04. 2012 21:06

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

#5 24. 04. 2012 21:09 — Editoval check_drummer (24. 04. 2012 21:14)

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

#6 24. 04. 2012 21:40 — Editoval Andrejka3 (24. 04. 2012 23:05)

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

#7 26. 04. 2012 21:30

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

#8 30. 04. 2012 20:35

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

#9 30. 04. 2012 21:56

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

#10 30. 04. 2012 23:05

Re: Izomorfismus struktury a struktury k ní opačné

Zápatí