Matematické Fórum

Fhact0r · 21. 01. 2013 21:08

S použitím všeobecných vztahů mezi kardináními čísly rozhodněte a zdůvodněte, které z kardinálních čísel $2^{(\mathfrak c^{\aleph_0})}$ a $2^{({\aleph_0}^\mathfrak c)}$ je větší nebo se rovnají.

Za $\mathfrak c$ dosadím $2^{\aleph_0}$ :

$2^{(2^{{\aleph_0}^2})}\ ?\ 2^{({\aleph_0}^{(2^{\aleph_0})})}$

Napadlo me pouze to, ze $2<\aleph_0$ a ${\aleph_0}^2<2^{\aleph_0}$ , tudiz $2^{(2^{{\aleph_0}^2})} < 2^{({\aleph_0}^{(2^{\aleph_0})})}$ . Staci takhle?

kompik · 23. 01. 2013 14:00

Fhact0r napsal(a):
Napadlo me pouze to, ze $2<\aleph_0$ a ${\aleph_0}^2<2^{\aleph_0}$ , tudiz $2^{(2^{{\aleph_0}^2})} < 2^{({\aleph_0}^{(2^{\aleph_0})})}$ . Staci takhle?

Neviem, či správne rozumiem tomu, že sa tam snažíš využiť niečo takéto:
$a<b$ $\Rightarrow$ $2^a<2^b$
Toto neplatí. (Keby sme chceli byť presný, tak toto sa nedá dokázať v ZFC.)

Anyway, skús najprv dokázať $\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c$ . (To nie je moc ťažké.)
Potom dostaneš $2^{(\mathfrak c^{\aleph_0})}=2^{\mathfrak c}$ , čiže si trochu zjednodušil jeden z tých kardinálov, čo chceš porovnávať.

Ďalej skús dokázať $\aleph_0^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$ .