Matematické Fórum

Nefronus · 21. 01. 2013 21:22

Zdravím, snažím se pochopit a vyřešit tuto úlohu, ale jelikož nejsem zběhlý v derivacích, zasekl jsem se u derivace funkce $\frac{\text{tg} \alpha}{\text{tg}^2\frac{\alpha }{2}}$ … Poradili byste, prosím, jak na to, abych z toho následně mohl vypočítat hodnotu α, když se derivace rovná nule? S typickým derivováním podílu se mi nepodařilo uspět…

houbar · 21. 01. 2013 21:30

Zdravím, lze derivovat taky jako součín funkcí $\mathrm{tg} \alpha * (\mathrm{tg} \frac{\alpha}{2})^{-2}$

Nefronus · 21. 01. 2013 21:45

Tak jsem se dostal k…
$\frac{(\text{tg}\frac{\alpha}{2})^{-2}}{\cos^2 \alpha } -\text{tg}\alpha \cdot 2 (\text{tg}{\alpha})^{-3}$
Mohl bych poprosit o další naťuknutí?

Andrejka3

↑ Nefronus:
Ahoj,
hledáme-li extrém zadané fce například na intervalu $I$ , kde je fce definovaná mohla by pomoci úvaha:
$\text{tg}\alpha$ vyjádříš pomocí tangens polovičního úhlu. Po dosazení vyjde složená fce
$g(\text{tg}(\alpha/2))$ . Vnitřní fce, tam, kde existuje, je rostoucí. Extrém "nastane" buďto na krajích intervalů (limitně), nebo tam, kde vnější fce nabývá extrému. Tím myslím to, že můžeme vyšetřit vnější fci a zjistit její extrémy. Pak dostat rovnici pro extrémy pro úhel.
Nebudeme pak muset derivovat tangens.
Je to srozumitelné?
Mě například vychází tímto postupem $\text{tg}(\alpha/2)=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
Edit: ta vnější fce bude dostatečně hezká, aby platilo to s těmi extrémy.

Honzc · 22. 01. 2013 07:43 — Editoval Honzc (22. 01. 2013 07:48)

↑ Nefronus:
Jedná se o derivaci podílu
Tedy $\frac{d}{d\alpha }(\frac{\text{tg}\alpha }{\text{tg}^{3}\frac{\alpha }{2}})=0$
Použijeme vzorec pro derivaci podílu $(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}$
Pro náš případ
$(\frac{\text{tg}\alpha }{\text{tg}^{3}\frac{\alpha }{2}})'=0$
$\frac{\frac{{\text{tg}^{3}\frac{\alpha }{2}}}{\cos ^{2}\alpha }-\frac{\text{tg}\alpha \cdot 3\text{tg}^{2\frac{\alpha }{2}}}{2\cos ^{2}\frac{\alpha }{2}}}{\text{tg}^{6}\frac{\alpha }{2}}=0$
Výraz je roven nule pokud čitatel je roven nule
Tedy
$\frac{{\text{tg}^{3}\frac{\alpha }{2}}}{\cos ^{2}\alpha }-\frac{\text{tg}\alpha \cdot 3\text{tg}^{2\frac{\alpha }{2}}}{2\cos ^{2}\frac{\alpha }{2}}=0$
Dále je to už pouze o úpravách
Dá se na společného jmenovatele avyužije se $2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}=\sin \alpha$ a $\text{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$

Nefronus

↑ Andrejka3:
Díky za způsob vedoucí ke správnému výsledku, ale moje nepříliš matematická hlava to nějak nebere…
↑ Honzc:
Díky, tak jsem se konečně dostal ke správné derivaci (díky vašemu postupu jsem si uvědomil několik chyb), pročež mám (ověřeno MAWem)…
$\frac{tg^2\frac{\alpha }{2}}{cos^2\alpha } - \frac{tg\alpha\cdot tg\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha }{2}}$
(Ve jmenovateli byl tg²…)
V tuto chvíli bohužel nevím, jakým způsobem to převést na společný jmenovatel…

Andrejka3 · 22. 01. 2013 13:42

↑ Nefronus:
Opravdu to není složité. Kdyby ses k tomu chtěl vrátit, napiš a já tě navedu přímočařeji. Respektuju tvou volbu.

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2013 21:22

Derivace – kruh vepsaný v rovnoramenném trojúhelníku

#2 21. 01. 2013 21:30

Re: Derivace – kruh vepsaný v rovnoramenném trojúhelníku

#3 21. 01. 2013 21:45

Re: Derivace – kruh vepsaný v rovnoramenném trojúhelníku

#4 21. 01. 2013 22:32 — Editoval Andrejka3 (21. 01. 2013 22:41)

Re: Derivace – kruh vepsaný v rovnoramenném trojúhelníku

#5 22. 01. 2013 07:43 — Editoval Honzc (22. 01. 2013 07:48)

Re: Derivace – kruh vepsaný v rovnoramenném trojúhelníku

#6 22. 01. 2013 13:19 — Editoval Nefronus (22. 01. 2013 13:20)

Re: Derivace – kruh vepsaný v rovnoramenném trojúhelníku

#7 22. 01. 2013 13:42

Re: Derivace – kruh vepsaný v rovnoramenném trojúhelníku

Zápatí