Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 27. 01. 2013 23:02 — Editoval Vincee (27. 01. 2013 23:15)

Vincee
Příspěvky: 64
Reputace:   0 
 

Křivkový integrál - volba substituce

Zdravím,
chtěl jsem se zeptat zda by mi někdo poradil u následujícího příkladu, mi není jasná volba substituce.
1. proč není prostě transformace do polárních souřadnic ve tvaru $x=r\cos \varphi $ a $x=r\sin \varphi $
2. O jakou se jedná křivku? připomíná sice kružnici, ale to by vpravo muselo být pouze číslo bez x.


viz.
http://forum.matweb.cz/upload3/img/2013-01/24918_krivk_parametrizace_2.png


Díky

Offline

 

#2 27. 01. 2013 23:18

Wellcosh
Příspěvky: 251
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   28 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

2. Jedná se o kružnici, jenom nemá střed v počátku. Doplň x na čtverec.
1. Teď už je to jasné, ne?

Bůh řekl:
∇×H = j + ∂D/∂t        ∇⋅D = ρ
∇×E = -∂B/∂t            ∇⋅B = 0
A bylo světlo.

Offline

 

#3 27. 01. 2013 23:34 — Editoval Vincee (27. 01. 2013 23:38)

Vincee
Příspěvky: 64
Reputace:   0 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

↑ Wellcosh:
Částečně, doplnění na čtverec chápu, střed je tudíž v $S [\frac{a}{2}, 0]$ tak6e ch8pu posunutí v transformaci x, přímo hodnota poloměru je už přímo zadána v transformaci, protože se nejedná o dvojný nebo trojný integrál, kde by se to zadávalo  do mezí pro integrál podle $dr$ chápu to dobře?

Offline

 

#4 27. 01. 2013 23:41 — Editoval Wellcosh (27. 01. 2013 23:45)

Wellcosh
Příspěvky: 251
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   28 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

↑ Vincee: Asi ano, ty hledáš parametrizaci křivky, tj. chceš popsat celou křivku pomocí jediného parametru, jako je $t$ v řešení příkladu. Substitucí do polárních souřadnic bys místo proměnných $x,y$ měl proměnné $r,\varphi$, které obecně popisují (skoro) celou rovinu, takže si moc nepomůžeš.

Bůh řekl:
∇×H = j + ∂D/∂t        ∇⋅D = ρ
∇×E = -∂B/∂t            ∇⋅B = 0
A bylo světlo.

Offline

 

#5 27. 01. 2013 23:43

Vincee
Příspěvky: 64
Reputace:   0 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

↑ Wellcosh:
No a v čem je rozdíl mezi parametrizací a substitucí, dost nápadně mi to substituci připomíná, jak správně provedu parametrizaci? Neznám postup

Offline

 

#6 28. 01. 2013 00:14 — Editoval Wellcosh (28. 01. 2013 00:19)

Wellcosh
Příspěvky: 251
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   28 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

↑ Vincee:
To jsem nešťastně formuloval. Se substitucí (ve smyslu Lebesgueova integrálu) to má společné to, že se často hodí používat polární souřadnice (případně válcové nebo sférické) :)
Parametrizace musí celou křivku popsat jedním parametrem (pokud jde o jednoduchou křivku, samozřejmě). Zde tedy využiješ toho, že jde o kružnici a tedy v posunutých polárních souřadnicích "vypadne" r. S konkrétní parametrizací pak přejde křivkový integrál v obyčejný jednorozměrný.
Substituce se typicky používá, abys dostal "hezčí" meze integrace pro Fubiniho větu, z n-rozměrného integrálu dostaneš zase n-rozměrný integrál.

Bůh řekl:
∇×H = j + ∂D/∂t        ∇⋅D = ρ
∇×E = -∂B/∂t            ∇⋅B = 0
A bylo světlo.

Offline

 

#7 28. 01. 2013 00:33

Vincee
Příspěvky: 64
Reputace:   0 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

↑ Wellcosh:
Ano chápu že pomocí jednoho parametru udělat parametrizaci, ale jaký je obecný postup, asi je to divná otázka, ale abych věděl jak parametrizovat křivku u které nebudu sám vědět.

Offline

 

#8 28. 01. 2013 00:35

Wellcosh
Příspěvky: 251
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   28 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

↑ Vincee:
Žádná kuchařka na nalezení parametrizace obecné křivky není. Musíš prostě zjistit, jak ta křivka vypadá, a z toho nějakou parametrizaci vymyslet.

Bůh řekl:
∇×H = j + ∂D/∂t        ∇⋅D = ρ
∇×E = -∂B/∂t            ∇⋅B = 0
A bylo světlo.

Offline

 

#9 28. 01. 2013 00:44

Vincee
Příspěvky: 64
Reputace:   0 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

↑ Wellcosh:
Dobře, ale co se týče ploch 2.stupně tak si pomáhám vždy nějakou modifikací cylindrických nebop sférických souřadnic? Je to tak?

Offline

 

#10 28. 01. 2013 00:49 — Editoval Wellcosh (28. 01. 2013 00:51)

Wellcosh
Příspěvky: 251
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   28 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

↑ Vincee:
Vůbec ne vždy. Ano, jsou to nejčastější parametrizace v příkladech, ale klidně můžeš mít plochu
$\Omega = \{[x,y,z] \in \mathbb{R}^3: z = x^2+y^2 \}$,
což je zřejmě rotační paraboloid.

Bůh řekl:
∇×H = j + ∂D/∂t        ∇⋅D = ρ
∇×E = -∂B/∂t            ∇⋅B = 0
A bylo světlo.

Offline

 

#11 28. 01. 2013 00:51

Vincee
Příspěvky: 64
Reputace:   0 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

↑ Wellcosh:
dá se nějak ověřit zda moje parametrizace bude správná?

Offline

 

#12 28. 01. 2013 01:06 — Editoval Wellcosh (28. 01. 2013 01:09)

Wellcosh
Příspěvky: 251
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   28 
 

Re: Křivkový integrál - volba substituce

↑ Vincee:
Většinou je to zřejmé. Můžeš to ověřit zpětným dosazením do definice křivky. Zde tedy
$\left( {a \over 2}+{a \over 2} \cos \varphi \right)^2 + \left({a \over 2} \sin \varphi \right)^2 = a\left( {a \over 2}+{a \over 2} \cos \varphi \right)$
$2{a^2 \over 4} + {a^2 \over 2} \cos \varphi  = {a^2 \over 2} + {a^2 \over 2} \cos \varphi$
Navíc musí být krajní bod intervalu zobrazen na krajní bod křivky, v případě uzavřených křivek se musí oba krajní body zobrazit do téhož bodu (což zde samozřejmě platí).

Bůh řekl:
∇×H = j + ∂D/∂t        ∇⋅D = ρ
∇×E = -∂B/∂t            ∇⋅B = 0
A bylo světlo.

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson