Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 07. 2013 14:53

Hanis
Veterán
Místo: Brno
Příspěvky: 2650
Škola: PřF MUNI - Statistika a analýza dat
Pozice: Děvče pro všechno
Reputace:   148 
 

Definice Eulerova čísla

Ahoj,

existuje více definic Eulerova čísla, např.:

$e=\lim_{n \to \infty} \(1+\frac{1}{n}\)^n~~~~~~(1)$
$e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}~~~~~(2)$

e je jediné číslo takové, že platí
$\forall x\in \mathbb{R}:~1+x\le e^x~~~~(3)$

A teď k otázce: Jak se ukáže, že existuje číslo, vyhovující (3)? Jak se ukáže, že existuje právě jedno? A jak se ukáže, že všechny tyto definice jsou ekvivalentní? Tím myslím, že všechny nám zadávají stejné e?

Děkuji, Honza

PS: dále by se dalo pracovat např. s tím, že e je jediné číslo takové, že $(e^x)'=e^x$ apod... Byla by to také funkční definice? Jak souvisí s (3)?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Hanis)

#2 22. 07. 2013 15:24 — Editoval Freedy (22. 07. 2013 15:36)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Definice Eulerova čísla

$e=\lim_{n\to\infty }\frac{n}{\sqrt[n]{n}}~~~~~~(4)$
$e = \lim_{n\to0}\sqrt[n]{1+n}~~~~~~(5)$
maximum funkce: $f(x)=\sqrt[x]{x}$


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#3 22. 07. 2013 15:39 — Editoval Rumburak (22. 07. 2013 16:17)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Hanis:
Ahoj.

Také např.  rovnicí $\int_1^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x  =  1$ a mnoha dalšími způsoby.
Ekvivalence dvou takových způsobů samozřejmě má důkaz spadající do matematické analýzy.
Kdyžtak napiš, který takový důkaz by Tě zajímal, a můžeme se zde na to podívat.

Ještě  sem za chvíli dodám jeden link, až ho najdu.

Slíbený link

Zdravím též kolegu  Vanka (v naději, že jeho uživatelské jméno správně skloňuji :-) ) .

Offline

 

#4 22. 07. 2013 15:43

vanok
Příspěvky: 14320
Reputace:   740 
 

Re: Definice Eulerova čísla

Ahoj ↑ Hanis:
Rychla poznamka:
Nemalo by to byt, najmensie ( infimum) cislo pre ktore plati (3).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 22. 07. 2013 16:17

Hanis
Veterán
Místo: Brno
Příspěvky: 2650
Škola: PřF MUNI - Statistika a analýza dat
Pozice: Děvče pro všechno
Reputace:   148 
 

Re: Definice Eulerova čísla

Děkuji za doplnění dalších vlastností čísla e.

↑ Rumburak:
Téma prostuduji v nejbližší době, až budu mít chvíli klidného času, moc děkuji.

↑ vanok:

Cituji z knihy Kapitoly z diskrétní matematiky autorů Jiří Matooušek a Jaroslav Nešetřil, ISBN978-80-246-1411-3, str.90:

...Fakt (3) totiž číslo e charakterizuje, pokud pro nějaké reálné číslo a platí $1+x\le a^x$ pro všechna reálná x, potom už a=e...

Mne by zajímal důkaz (jednoznačnosti) existence takového čísla a následně důkaz, že je to e, tj. ekvivalenci s (1) nebo (2). Samozřejmě i v knihách mohou být chyby, nicméně mezi studenty i vyučujícími je tato kniha považována za kvalitní.

Offline

 

#6 22. 07. 2013 17:27 — Editoval Rumburak (23. 07. 2013 15:26)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Hanis:

Když o tom blíže zauvažujeme, tak ta věta citovaná z knihy je správná.

Důkaz založený na definicích

              $a^x  := \exp(x\ln a)$ ,   $\exp(x):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ ,   $\ln$ je funkce inversní k $\exp$$\mathrm{e} :=\exp(1)$

a větách z nich dokazatelných (nevím, jak rychle mi to půjde, dnes mám na to už jen půlhodinu, možná bude nutno dokončit to později):

1) Platí-li pro každé reálné $x$ nerovnost $1+x\le a^x$, pak její pravá strana musí mít ve všech zmíněných případech smysl,  proto $a > 0$.

2)   Položme  $A:=\{a > 0  ;    \forall_{x\ge0}   1+x\le a^x \}$ .  Ukážeme, že $\mathrm{e} \in A$:

          $1 + x \le \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \exp(x) =  \exp(x\cdot 1) = \exp(x\cdot \ln \mathrm{e}) = \mathrm{e}^x $ .

3)  Je -li  $0 <u < \mathrm{e}$ ,  ukážeme, že  $ u \notin A$  :

Položme $f(x) := 1 + x$ , $g(x) := u^x$ ,   Platí  $f(0) = 1 = g(0)$,  dále $f'(0) = 1$,  avšak $\ln u < \ln \mathrm{e} = 1$,  takže
$(u^x)' = u^x \ln u < u^x$ ,  odtud  $g'(0) < g(0) = 1$. Z těchto srovnání funkcí $f, g$ plyne:

                      existuje $\delta > 0$ takové, že pro všechna $x \in (0 ,\delta)$ je $g(x) < f(x)$ ,

tudíž $ u \notin A$ .

Celkem jsme dokázali : $\min A  = \mathrm{e} $ .

Podobně (i když o něco složitěji) by se dokázalo  $\max B  = \mathrm{e}$ , kde $B:=\{a > 0  ;    \forall_{x\le 0}   1+x\le a^x \}$ .

Celkem $A \cap B = \{\mathrm{e}\}$.   Odtud už je ta citovaná věta zřejmá.


EDIT.  Ještě jsem opravil některé překlepy a nepřesnosti.

Offline

 

#7 22. 07. 2013 17:54

vanok
Příspěvky: 14320
Reputace:   740 
 

Re: Definice Eulerova čísla

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Ano to je vyborne riesenie, ja som uvazoval v rychlosti len pripad  x>0... a pochopitelne pre negativne x, mame riesenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 22. 07. 2013 21:28

Hanis
Veterán
Místo: Brno
Příspěvky: 2650
Škola: PřF MUNI - Statistika a analýza dat
Pozice: Děvče pro všechno
Reputace:   148 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Rumburak:

Moc děkuji za krásné řešení, které je docela snadné - osobně jsem čekal použití věty o supremu/infimu, ale nedokázal jsem to správně zformulovat.

Teď si v rámci cvičení projdu ostatní ekvivalence, kdyby byl nějaký problém, ozvu se.

Offline

 

#9 22. 07. 2013 22:14

check_drummer
Příspěvky: 3831
Reputace:   90 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Rumburak:
Ahoj, nepotřebujeme náhodnou pro odvození hodnoty $(u^x)'$ právě dokazovaný tvar čísla e? (Pak bychom využívali to, co chceme dokázat.)


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#10 22. 07. 2013 23:23

martisek
Příspěvky: 914
Škola: MU Brno
Pozice: učitel, FSI VUT v Brně
Reputace:   52 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Freedy:

Ahoj,

odkud máš

maximum funkce: $f(x)=\sqrt[x]{x}$ ?

To je totiž nesmysl - $\sqrt[x]{x}$ je definovaná jenom pro přirozená x.


Wolfram ani jiný chemický prvek matematiku nenaučí.

Offline

 

#11 23. 07. 2013 09:26

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ check_drummer:

Ahoj.

Podle věty o derivaci složené funkce zde máme

          $(u^x)' = \(\exp(x \ln u)\)' = \exp'(x \ln u)\cdot (x \ln u)' =  \exp(x \ln u)\cdot \ln u  = u^x\cdot \ln u $ .

Offline

 

#12 23. 07. 2013 10:39

martisek
Příspěvky: 914
Škola: MU Brno
Pozice: učitel, FSI VUT v Brně
Reputace:   52 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Rumburak:

Jak správně vystihl ↑ check_drummer:, motáš se v kruhu. Otázka zní, jak definovat e. jestliže k tomu potřebuješ něco takového

$(u^x)' = \(\exp(x \ln u)\)' = \exp'(x \ln u)\cdot (x \ln u)' =  \exp(x \ln u)\cdot \ln u  = u^x\cdot \ln u $

pak musíš definovat funkce $e^x$ a $ln x$, aniž bys znal číslo e. A to jsem moc zvědav, jak to uděláš :-)


Wolfram ani jiný chemický prvek matematiku nenaučí.

Offline

 

#13 23. 07. 2013 11:53 — Editoval Rumburak (23. 07. 2013 15:48)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ martisek:, ↑ check_drummer:

martisek napsal(a):

↑ Rumburak:

Jak správně vystihl ↑ check_drummer:, motáš se v kruhu. Otázka zní, jak definovat e. jestliže k tomu potřebuješ něco takového

$(u^x)' = \(\exp(x \ln u)\)' = \exp'(x \ln u)\cdot (x \ln u)' =  \exp(x \ln u)\cdot \ln u  = u^x\cdot \ln u $

pak musíš definovat funkce $e^x$ a $ln x$, aniž bys znal číslo e. A to jsem moc zvědav, jak to uděláš :-)

Tak tedy podrobněji:

Za definice zde beru

I.)  $\exp(x):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ ,  pokud  (prozatím)  $x$  je reálné 

(některé vlastnosti této funkce jsou dány teorií řad resp. mocninných řad; pomocí věty o součinu abs. konv. řad dostaneme

                                                     $\exp(x)\cdot \exp(y) = \exp(x+y)$,

odtud plynou vlatnosti této funkce,  pokud jde o její průběh, mj. že jde o rostoucí funkci zobrazující $(-\infty, +\infty )$  na  $(0, +\infty )$ ),

II.) $\mathrm{e} :=\exp(1)$ ,

III.)  $\ln$  je inversní funkcí k $\exp$   

(dle I. speciálně dostáváme  $\ln \mathrm{e} = 1$),

IV.)  $a^x  := \exp(x\ln a)$,   pokud  $a > 0$ , $x$ iracionální 

(definici mocniny pro $x$ racionální zajišťuje algebra, tato definice je jejím rozšířením, jak lze snadno dokázat;
speciálně tedy  $\mathrm{e}^x  = \exp(x\ln \mathrm{e}) =  \exp(x\cdot 1) = \exp(x)$).


Zatím ten kruh v definicích či v důkazech nevidím :-) .


EDIT: Abychom si rozuměli: já jsem Hanisův výrok (3) nijak nebral za definici čísla $\mathrm{e}$, ale snažil jsem se ukázat,
že jedině při $a = \mathrm{e}$ tento výrok platí, předpokládaje, že  $\mathrm{e}$ už definováno je a má známé vlastnosti.

Offline

 

#14 23. 07. 2013 12:42

vanok
Příspěvky: 14320
Reputace:   740 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Rumburak:,
Aj velmi znama kniha od W. Rudin-a
http://www.amazon.com/gp/search?index=b … 0070542341
definuje exponencionalnu funkciu ako ty. (historicky, Euler ju definoval ako  v (1), a neskor Newton ako v (2), a co da jej predlzenie na complexne cisla....)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 23. 07. 2013 13:57 — Editoval Bati (23. 07. 2013 15:10)

Bati
Příspěvky: 2387
Reputace:   188 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Rumburak:
Souhlasím z Rumburakem, tento postup přes mocninné řady neobsahuje žádný "kruh" a mně osobně přijde nejjednodušší.
Doplním, jak z toho plyne vlastnost (1):


Ještě mě napadlo, jak odvodit vlastnost (3) pomocí hledání extrémů:

Offline

 

#16 23. 07. 2013 16:33 — Editoval Freedy (23. 07. 2013 16:34)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Definice Eulerova čísla

martisek napsal(a):

↑ Freedy:

Ahoj,

odkud máš

maximum funkce: $f(x)=\sqrt[x]{x}$ ?

To je totiž nesmysl - $\sqrt[x]{x}$ je definovaná jenom pro přirozená x.

:D nejsem žádnej zkušenej analytik ani nic podobnýho, s e jsem se (až na zajímavost přirozeného logaritmu při probírání logaritmické funkce) nesetkal.  Derivuju si jen ze zajímavosti, chodím do druháku, ale tak zkusím to objasnit, kdyžtak mě opravte:
$f:y=\sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}}$
hledám maximum této funkce
zderivuju ji:
$y = x^{\frac{1}{x}}$
$\ln y=\frac{1}{x}\ln x$
$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2}\ln x+\frac{1}{x}*\frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx}=y[\frac{1}{x^2}-\frac{\ln x}{x^2}]$
$\frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}}[\frac{1}{x^2}(1-\ln x)]$
$\frac{dy}{dx}=(x^{\frac{1}{x}-2})*(1-\ln x)$
takže:
$\frac{d(\sqrt[x]{x})}{dx}=(x^{\frac{1}{x}-2})*(1-\ln x)$
když to položím nule:
$(x^{\frac{1}{x}-2})*(1-\ln x)=0$
vyjde jedno řešení a to je e:
$x=e$

PS: proč pro přirozená x? Stačí ji definovat pro kladná x a je to. A tady to úplně stačí


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#17 23. 07. 2013 17:12 — Editoval Brano (23. 07. 2013 17:13)

Brano
Příspěvky: 2646
Reputace:   229 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Freedy:
samozrejme, ze sa da definovat aj pre ine ako prirodzene cisla ... dokonca ako (relativne pekna) multifunkcia aj pre komplexne cisla - a aj tam sa da vybrat nejaka vetva

ale ked pises "maximum $\sqrt[x]x$" tak by si mal uviest na akej mnozine (t.j. napr. na kladnych cislach) lebo na zapornych ma hlavna vetva aj realnu aj komplexnu zlozku neohranicenu

a vlastne $e$ nie je maximum ale bod maxima

Offline

 

#18 23. 07. 2013 17:20

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Definice Eulerova čísla

;) dobrá dobrá, omlouvám se za špatnou formulaci.


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#19 23. 07. 2013 18:15

martisek
Příspěvky: 914
Škola: MU Brno
Pozice: učitel, FSI VUT v Brně
Reputace:   52 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Freedy:

A jak definuješ

$\ln y$ resp. $\ln x$, (tvůj třetí řádek), když ještě nevíš, co je e?


Wolfram ani jiný chemický prvek matematiku nenaučí.

Offline

 

#20 23. 07. 2013 18:16

martisek
Příspěvky: 914
Škola: MU Brno
Pozice: učitel, FSI VUT v Brně
Reputace:   52 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Rumburak:

Za definice zde beru $\exp(x):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

...pak je to OK.


Wolfram ani jiný chemický prvek matematiku nenaučí.

Offline

 

#21 23. 07. 2013 18:23

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Definice Eulerova čísla

tak kdyby ti někdo řekl že bod maxima této funkce je e, tak by jsi si ten graf nakreslil a zjistil by jsi, kde má maximum, a potom by si se mu už jen nějakou metodou přibližoval


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#22 23. 07. 2013 18:43 — Editoval martisek (23. 07. 2013 18:56)

martisek
Příspěvky: 914
Škola: MU Brno
Pozice: učitel, FSI VUT v Brně
Reputace:   52 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Freedy:

Dobrá, tak jinak - jak víš, že  (ln x)' = 1/x (když neznáš e)?

To je totiž přesně to, na co upozorňoval ↑ check_drummer:...


Wolfram ani jiný chemický prvek matematiku nenaučí.

Offline

 

#23 23. 07. 2013 19:11

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Definice Eulerova čísla

hm... okay, tak to neni definice... jen říkám že kdyby sis nakreslil graf tehle funkce tak bude mít maximum v e.


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#24 24. 07. 2013 00:09

Brano
Příspěvky: 2646
Reputace:   229 
 

Re: Definice Eulerova čísla

definicia: $e:=\text{argmax}_{\{x\in R^+\}}\sqrt[x]x$ je dokonale jednoznacna
problem moze byt len zistit kolko to je...
a znova ako jednoduchy sa crta standardny postup ktory spominal rumburak

definuje sa $\exp$ radom $\log$ ako inverzna funkcia (ktore v skutocnosi musime mat aby sme mohli vobec definovat $\sqrt[x]x$) a potom sa lahko dokaze ze $e=\exp(1)$

Offline

 

#25 24. 07. 2013 00:57 — Editoval martisek (24. 07. 2013 01:35)

martisek
Příspěvky: 914
Škola: MU Brno
Pozice: učitel, FSI VUT v Brně
Reputace:   52 
 

Re: Definice Eulerova čísla

↑ Brano:

A to já až nebudu mít co dělat, tak si zadefinuju číslo tři.  Při konstrukci reálných čísel trojku záměrně vynechám, celou analýzu vybuduji na množině $\mathbb{R}-\{3\}$ a neexistenci limit typu $\lim_{x\to 2} (x+1) $ pak vybaven mocným analytickým aparátem vyřeším tímto dodefinováním:

$
3:=\frac {\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx\right) ^2} 2 - 2\sum_{n=5}^{\infty}\frac {(-1)^{n+1}} {2n-5}+\lim_{x \to 0} \frac {sin 2x} x + arctg \frac {\pi} 4 +\frac 4 6
$

A bude to taky zcela korektní...


Wolfram ani jiný chemický prvek matematiku nenaučí.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson