Matematické Fórum

Hanis · 22. 07. 2013 14:53

Ahoj,

existuje více definic Eulerova čísla, např.:

$e=\lim_{n \to \infty} $1+\frac{1}{n}$^n~~~~~~(1)$
$e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}~~~~~(2)$

e je jediné číslo takové, že platí
$\forall x\in \mathbb{R}:~1+x\le e^x~~~~(3)$

A teď k otázce: Jak se ukáže, že existuje číslo, vyhovující (3)? Jak se ukáže, že existuje právě jedno? A jak se ukáže, že všechny tyto definice jsou ekvivalentní? Tím myslím, že všechny nám zadávají stejné e?

Děkuji, Honza

PS: dále by se dalo pracovat např. s tím, že e je jediné číslo takové, že $(e^x)'=e^x$ apod... Byla by to také funkční definice? Jak souvisí s (3)?

Freedy · 22. 07. 2013 15:24 — Editoval Freedy (22. 07. 2013 15:36)

$e=\lim_{n\to\infty }\frac{n}{\sqrt[n]{n}}~~~~~~(4)$
$e = \lim_{n\to0}\sqrt[n]{1+n}~~~~~~(5)$
maximum funkce: $f(x)=\sqrt[x]{x}$

Rumburak

↑ Hanis:
Ahoj.

Také např. rovnicí $\int_1^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = 1$ a mnoha dalšími způsoby.
Ekvivalence dvou takových způsobů samozřejmě má důkaz spadající do matematické analýzy.
Kdyžtak napiš, který takový důkaz by Tě zajímal, a můžeme se zde na to podívat.

Ještě sem za chvíli dodám jeden link, až ho najdu.

Slíbený link

Zdravím též kolegu Vanka (v naději, že jeho uživatelské jméno správně skloňuji :-) ) .

vanok · 22. 07. 2013 15:43

Ahoj ↑ Hanis:
Rychla poznamka:
Nemalo by to byt, najmensie ( infimum) cislo pre ktore plati (3).

Hanis · 22. 07. 2013 16:17

Děkuji za doplnění dalších vlastností čísla e.

↑ Rumburak:
Téma prostuduji v nejbližší době, až budu mít chvíli klidného času, moc děkuji.

↑ vanok:

Cituji z knihy Kapitoly z diskrétní matematiky autorů Jiří Matooušek a Jaroslav Nešetřil, ISBN978-80-246-1411-3, str.90:

...Fakt (3) totiž číslo e charakterizuje, pokud pro nějaké reálné číslo a platí $1+x\le a^x$ pro všechna reálná x, potom už a=e...

Mne by zajímal důkaz (jednoznačnosti) existence takového čísla a následně důkaz, že je to e, tj. ekvivalenci s (1) nebo (2). Samozřejmě i v knihách mohou být chyby, nicméně mezi studenty i vyučujícími je tato kniha považována za kvalitní.

Rumburak

↑ Hanis:

Když o tom blíže zauvažujeme, tak ta věta citovaná z knihy je správná.

Důkaz založený na definicích

$a^x := \exp(x\ln a)$ , $\exp(x):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ , $\ln$ je funkce inversní k $\exp$ , $\mathrm{e} :=\exp(1)$

a větách z nich dokazatelných (nevím, jak rychle mi to půjde, dnes mám na to už jen půlhodinu, možná bude nutno dokončit to později):

1) Platí-li pro každé reálné $x$ nerovnost $1+x\le a^x$ , pak její pravá strana musí mít ve všech zmíněných případech smysl, proto $a > 0$ .

2) Položme $A:=\{a > 0 ; \forall_{x\ge0} 1+x\le a^x \}$ . Ukážeme, že $\mathrm{e} \in A$ :

$1 + x \le \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \exp(x) = \exp(x\cdot 1) = \exp(x\cdot \ln \mathrm{e}) = \mathrm{e}^x$ .

3) Je -li $0 <u < \mathrm{e}$ , ukážeme, že $u \notin A$ :

Položme $f(x) := 1 + x$ , $g(x) := u^x$ , Platí $f(0) = 1 = g(0)$ , dále $f'(0) = 1$ , avšak $\ln u < \ln \mathrm{e} = 1$ , takže
$(u^x)' = u^x \ln u < u^x$ , odtud $g'(0) < g(0) = 1$ . Z těchto srovnání funkcí $f, g$ plyne:

existuje $\delta > 0$ takové, že pro všechna $x \in (0 ,\delta)$ je $g(x) < f(x)$ ,

tudíž $u \notin A$ .

Celkem jsme dokázali : $\min A = \mathrm{e}$ .

Podobně (i když o něco složitěji) by se dokázalo $\max B = \mathrm{e}$ , kde $B:=\{a > 0 ; \forall_{x\le 0} 1+x\le a^x \}$ .

Celkem $A \cap B = \{\mathrm{e}\}$ . Odtud už je ta citovaná věta zřejmá.

EDIT. Ještě jsem opravil některé překlepy a nepřesnosti.

vanok · 22. 07. 2013 17:54

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Ano to je vyborne riesenie, ja som uvazoval v rychlosti len pripad x>0... a pochopitelne pre negativne x, mame riesenie.

Hanis · 22. 07. 2013 21:28

↑ Rumburak:

Moc děkuji za krásné řešení, které je docela snadné - osobně jsem čekal použití věty o supremu/infimu, ale nedokázal jsem to správně zformulovat.

Teď si v rámci cvičení projdu ostatní ekvivalence, kdyby byl nějaký problém, ozvu se.

check_drummer · 22. 07. 2013 22:14

↑ Rumburak:
Ahoj, nepotřebujeme náhodnou pro odvození hodnoty $(u^x)'$ právě dokazovaný tvar čísla e? (Pak bychom využívali to, co chceme dokázat.)

martisek · 22. 07. 2013 23:23

↑ Freedy:

Ahoj,

odkud máš

maximum funkce: $f(x)=\sqrt[x]{x}$ ?

To je totiž nesmysl - $\sqrt[x]{x}$ je definovaná jenom pro přirozená x.

Rumburak · 23. 07. 2013 09:26

↑ check_drummer:

Ahoj.

Podle věty o derivaci složené funkce zde máme

$(u^x)' = $\exp(x \ln u)$' = \exp'(x \ln u)\cdot (x \ln u)' = \exp(x \ln u)\cdot \ln u = u^x\cdot \ln u$ .

martisek · 23. 07. 2013 10:39

↑ Rumburak:

Jak správně vystihl ↑ check_drummer:, motáš se v kruhu. Otázka zní, jak definovat e. jestliže k tomu potřebuješ něco takového

$(u^x)' = $\exp(x \ln u)$' = \exp'(x \ln u)\cdot (x \ln u)' = \exp(x \ln u)\cdot \ln u = u^x\cdot \ln u$

pak musíš definovat funkce $e^x$ a $ln x$ , aniž bys znal číslo e. A to jsem moc zvědav, jak to uděláš :-)

Rumburak

↑ martisek:, ↑ check_drummer:

martisek napsal(a):
↑ Rumburak:

Jak správně vystihl ↑ check_drummer:, motáš se v kruhu. Otázka zní, jak definovat e. jestliže k tomu potřebuješ něco takového

$(u^x)' = $\exp(x \ln u)$' = \exp'(x \ln u)\cdot (x \ln u)' = \exp(x \ln u)\cdot \ln u = u^x\cdot \ln u$

pak musíš definovat funkce $e^x$ a $ln x$ , aniž bys znal číslo e. A to jsem moc zvědav, jak to uděláš :-)

Tak tedy podrobněji:

Za definice zde beru

I.) $\exp(x):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ , pokud (prozatím) $x$ je reálné

(některé vlastnosti této funkce jsou dány teorií řad resp. mocninných řad; pomocí věty o součinu abs. konv. řad dostaneme

$\exp(x)\cdot \exp(y) = \exp(x+y)$ ,

odtud plynou vlatnosti této funkce, pokud jde o její průběh, mj. že jde o rostoucí funkci zobrazující $(-\infty, +\infty )$ na $(0, +\infty )$ ),

II.) $\mathrm{e} :=\exp(1)$ ,

III.) $\ln$ je inversní funkcí k $\exp$

(dle I. speciálně dostáváme $\ln \mathrm{e} = 1$ ),

IV.) $a^x := \exp(x\ln a)$ , pokud $a > 0$ , $x$ iracionální

(definici mocniny pro $x$ racionální zajišťuje algebra, tato definice je jejím rozšířením, jak lze snadno dokázat;
speciálně tedy $\mathrm{e}^x = \exp(x\ln \mathrm{e}) = \exp(x\cdot 1) = \exp(x)$ ).

Zatím ten kruh v definicích či v důkazech nevidím :-) .

EDIT: Abychom si rozuměli: já jsem Hanisův výrok (3) nijak nebral za definici čísla $\mathrm{e}$ , ale snažil jsem se ukázat,
že jedině při $a = \mathrm{e}$ tento výrok platí, předpokládaje, že $\mathrm{e}$ už definováno je a má známé vlastnosti.

vanok · 23. 07. 2013 12:42

↑ Rumburak:,
Aj velmi znama kniha od W. Rudin-a
http://www.amazon.com/gp/search?index=b … 0070542341
definuje exponencionalnu funkciu ako ty. (historicky, Euler ju definoval ako v (1), a neskor Newton ako v (2), a co da jej predlzenie na complexne cisla....)

Bati · 23. 07. 2013 13:57 — Editoval Bati (23. 07. 2013 15:10)

↑ Rumburak:
Souhlasím z Rumburakem, tento postup přes mocninné řady neobsahuje žádný "kruh" a mně osobně přijde nejjednodušší.
Doplním, jak z toho plyne vlastnost (1):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ještě mě napadlo, jak odvodit vlastnost (3) pomocí hledání extrémů:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Freedy · 23. 07. 2013 16:33 — Editoval Freedy (23. 07. 2013 16:34)

martisek napsal(a):
↑ Freedy:

Ahoj,

odkud máš

maximum funkce: $f(x)=\sqrt[x]{x}$ ?

To je totiž nesmysl - $\sqrt[x]{x}$ je definovaná jenom pro přirozená x.

:D nejsem žádnej zkušenej analytik ani nic podobnýho, s e jsem se (až na zajímavost přirozeného logaritmu při probírání logaritmické funkce) nesetkal. Derivuju si jen ze zajímavosti, chodím do druháku, ale tak zkusím to objasnit, kdyžtak mě opravte:
$f:y=\sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}}$
hledám maximum této funkce
zderivuju ji:
$y = x^{\frac{1}{x}}$
$\ln y=\frac{1}{x}\ln x$
$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2}\ln x+\frac{1}{x}*\frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx}=y[\frac{1}{x^2}-\frac{\ln x}{x^2}]$
$\frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}}[\frac{1}{x^2}(1-\ln x)]$
$\frac{dy}{dx}=(x^{\frac{1}{x}-2})*(1-\ln x)$
takže:
$\frac{d(\sqrt[x]{x})}{dx}=(x^{\frac{1}{x}-2})*(1-\ln x)$
když to položím nule:
$(x^{\frac{1}{x}-2})*(1-\ln x)=0$
vyjde jedno řešení a to je e:
$x=e$

PS: proč pro přirozená x? Stačí ji definovat pro kladná x a je to. A tady to úplně stačí

Brano · 23. 07. 2013 17:12 — Editoval Brano (23. 07. 2013 17:13)

↑ Freedy:
samozrejme, ze sa da definovat aj pre ine ako prirodzene cisla ... dokonca ako (relativne pekna) multifunkcia aj pre komplexne cisla - a aj tam sa da vybrat nejaka vetva

ale ked pises "maximum $\sqrt[x]x$ " tak by si mal uviest na akej mnozine (t.j. napr. na kladnych cislach) lebo na zapornych ma hlavna vetva aj realnu aj komplexnu zlozku neohranicenu

a vlastne $e$ nie je maximum ale bod maxima

Freedy · 23. 07. 2013 17:20

;) dobrá dobrá, omlouvám se za špatnou formulaci.

martisek · 23. 07. 2013 18:15

↑ Freedy:

A jak definuješ

$\ln y$ resp. $\ln x$ , (tvůj třetí řádek), když ještě nevíš, co je e?

martisek · 23. 07. 2013 18:16

↑ Rumburak:

Za definice zde beru $\exp(x):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

...pak je to OK.

Freedy · 23. 07. 2013 18:23

tak kdyby ti někdo řekl že bod maxima této funkce je e, tak by jsi si ten graf nakreslil a zjistil by jsi, kde má maximum, a potom by si se mu už jen nějakou metodou přibližoval

martisek

↑ Freedy:

Dobrá, tak jinak - jak víš, že (ln x)' = 1/x (když neznáš e)?

To je totiž přesně to, na co upozorňoval ↑ check_drummer:...

Freedy · 23. 07. 2013 19:11

hm... okay, tak to neni definice... jen říkám že kdyby sis nakreslil graf tehle funkce tak bude mít maximum v e.

Brano · 24. 07. 2013 00:09

definicia: $e:=\text{argmax}_{\{x\in R^+\}}\sqrt[x]x$ je dokonale jednoznacna
problem moze byt len zistit kolko to je...
a znova ako jednoduchy sa crta standardny postup ktory spominal rumburak

definuje sa $\exp$ radom $\log$ ako inverzna funkcia (ktore v skutocnosi musime mat aby sme mohli vobec definovat $\sqrt[x]x$ ) a potom sa lahko dokaze ze $e=\exp(1)$

martisek

↑ Brano:

A to já až nebudu mít co dělat, tak si zadefinuju číslo tři. Při konstrukci reálných čísel trojku záměrně vynechám, celou analýzu vybuduji na množině $\mathbb{R}-\{3\}$ a neexistenci limit typu $\lim_{x\to 2} (x+1)$ pak vybaven mocným analytickým aparátem vyřeším tímto dodefinováním:

$3:=\frac {\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx\right) ^2} 2 - 2\sum_{n=5}^{\infty}\frac {(-1)^{n+1}} {2n-5}+\lim_{x \to 0} \frac {sin 2x} x + arctg \frac {\pi} 4 +\frac 4 6$

A bude to taky zcela korektní...

Matematické Fórum

#1 22. 07. 2013 14:53

Definice Eulerova čísla

#2 22. 07. 2013 15:24 — Editoval Freedy (22. 07. 2013 15:36)

Re: Definice Eulerova čísla

#3 22. 07. 2013 15:39 — Editoval Rumburak (22. 07. 2013 16:17)

Re: Definice Eulerova čísla

#4 22. 07. 2013 15:43

Re: Definice Eulerova čísla

#5 22. 07. 2013 16:17

Re: Definice Eulerova čísla

#6 22. 07. 2013 17:27 — Editoval Rumburak (23. 07. 2013 15:26)

Re: Definice Eulerova čísla

#7 22. 07. 2013 17:54

Re: Definice Eulerova čísla

#8 22. 07. 2013 21:28

Re: Definice Eulerova čísla

#9 22. 07. 2013 22:14

Re: Definice Eulerova čísla

#10 22. 07. 2013 23:23

Re: Definice Eulerova čísla

#11 23. 07. 2013 09:26

Re: Definice Eulerova čísla

#12 23. 07. 2013 10:39

Re: Definice Eulerova čísla

#13 23. 07. 2013 11:53 — Editoval Rumburak (23. 07. 2013 15:48)

Re: Definice Eulerova čísla

martisek napsal(a):

#14 23. 07. 2013 12:42

Re: Definice Eulerova čísla

#15 23. 07. 2013 13:57 — Editoval Bati (23. 07. 2013 15:10)

Re: Definice Eulerova čísla

#16 23. 07. 2013 16:33 — Editoval Freedy (23. 07. 2013 16:34)

Re: Definice Eulerova čísla

martisek napsal(a):

#17 23. 07. 2013 17:12 — Editoval Brano (23. 07. 2013 17:13)

Re: Definice Eulerova čísla

#18 23. 07. 2013 17:20

Re: Definice Eulerova čísla

#19 23. 07. 2013 18:15

Re: Definice Eulerova čísla

#20 23. 07. 2013 18:16

Re: Definice Eulerova čísla

#21 23. 07. 2013 18:23

Re: Definice Eulerova čísla

#22 23. 07. 2013 18:43 — Editoval martisek (23. 07. 2013 18:56)

Re: Definice Eulerova čísla

#23 23. 07. 2013 19:11

Re: Definice Eulerova čísla

#24 24. 07. 2013 00:09

Re: Definice Eulerova čísla

#25 24. 07. 2013 00:57 — Editoval martisek (24. 07. 2013 01:35)

Re: Definice Eulerova čísla

Zápatí