Matematické Fórum

kolejo · 18. 11. 2013 14:37

Dobrý den,
mám tu takový příklad, přemýšlím nad tím a chtěl bych do toho, s Vaší pomocí, prosím, proniknout.
$\text{Kolik je normovaných polynomů f }\in \mathbb{Z}_p[x]$
$\text{stupně n ireducibilních nad } \mathbb{Z}_p.$
$n\in \{1,2,...,8\}, p \text{ libovolné prvočíslo}$

Ano, je to tam pro stupně 1 až 8, prosím o pomoc aspoň pro n=2, zbytek bych třeba už zvládl.
Prvočíslo p je tady jako parametr. Zkoušel jsem něco pro p=2, p=3, docela bez úspěchu.
Pro polynomy stupně 1 máme všechny ireducibilní takto: x, x+1, x+2, ..., x+p-1 (celkem p)
A jak dál?

Pomůže mi toto: $x^{p^{n}}-x$ ?

Našel jsem http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barto/st … KonTel.pdf no a na straně 30 PMIP_q,d,
mohu to nějak použít?

Děkuji za pomoc,
kolejo

vanok · 18. 11. 2013 18:17 — Editoval vanok (18. 11. 2013 18:18)

Ahoj ↑ kolejo:,
Asi chces dokazat znamu vetu:
Pocet $I_ {nq}$ normovanych ireduktibilnych polynomov stupna $n$ na konecnom telese $F_q$ je
$I_{nq}=\frac 1n \sum_{d|n}\mu (\frac nd)q^d$ .

Po rychlom prebehnuti tvojho materialu, zda sa mi ze mas na to vsetki techniky co treba.

kolejo · 18. 11. 2013 19:01

↑ vanok:
Dobrý večer,
ano, tak ty techniky bych měl, akorát v tom materiálu, který jsem našel se používá möbiova funkce, kterou my jsme nedělali. Mělo by to jít bez toho.
Z přednášky mám toto:
$\text{Označme } m_{p,d} \text{ počet všech norm. ireduc. polynomů stupně d nad } \mathbb{Z}_p$
$\text{Platí: pro každé prvočíslo p a n přirozené }$
$\sum_{d|n}^{}d\cdot m_{p,d}=p^n$

vím:
m_2,2=1
m_2,1=2

Zkusím nyní m_3,2=?
F_q je teleso o q prvcích, že?
Z_3[x] ma devet prvků (tedy pro n=2, a polynomy jsou normované)
Tedy: n=2, p=3, q=9, d={1,2} (delitele dvojky)
Takze suma s tim möbiem bude:
$I_{nq}=\frac 1n \sum_{d|n}\mu (\frac nd)q^d$
$I_{2,9}=\frac 12 (\mu (\frac 21)9^1+\mu (\frac 22)9^2)$

No a ten výpočet...möbius...nejsem si jistý. Snažím se na to přijít s tím materiálem.
Mám: $\mu (2) = -1, \mu(1)=1$
Nakonec $\frac 12 ((-1)9^1+ (1)9^2)=36$
(OT: někde jsem viděl, že se dají psát pěkné závorky, ale už nevím)
Což je špatně, to je moc. Tak ale pro q máme polovina z -3+9 což je 6/2=3 a to už je pravda.
Tak jsem špatně vzal q.
OK, s möbiem to vyšlo.
Dodal jste mi naději, děkuji Vám, a opřel jsem se do toho. Mám z toho dobrý pocit.

Ještě budu pokračovat sám, je mi zatím vše jasné. Zítra se ozvu s případnými dalšími výsledky. S pozdravem,
kolejo

vanok · 18. 11. 2013 20:06

Tvoj vzorec je tiez zaujimavy, povoluje postupne podla n urcit pocet ireduktibilnych polynomov. (Na jeho dokaz sa pouzije ten vzorec $x^{p^{n}}-x$ ktory je sucin vsetkych ired. norm. polynomov ktorych d° deli $n$ na $Z_p$ )
Cize v istom zmysle mas odpoved na tvoj problem.

kolejo · 19. 11. 2013 12:12

↑ vanok:

Tak už to mám pro všechna n ze zadané množiny. Pro mocniny dvou a prvočísla to je ještě jednodušší. Naznačím postup aspoň u m_p,2:
dělitelé dvojky: 1 2
$1\cdot m_{p,1}+2\cdot m_{p,2}=p^2$
$1\cdot p+2\cdot m_{p,2}=p^2$
$2\cdot m_{p,2}=p^2-p$
$m_{p,2}=\frac{p^2-p}{2}$
(m_p,1=p je triviální)

Napíšu tedy zbytek řešení a označím téma za vyřešené.

$m_{p,3}=\frac{p^3-p}{3}$
$m_{p,4}=\frac{p^4-p^2}{4}$
$m_{p,5}=\frac{p^5-p}{5}$
$m_{p,6}=\frac{p^6-p^3-p^2+p}{6}$
$m_{p,7}=\frac{p^7-p}{7}$
$m_{p,8}=\frac{p^8-p^4}{8}$

Je hezké si ověřit, že ty zlomky dávají pro každé prvočíslo číslo přirozené.
No a za "domácí úkol" přepočítat druhým způsobem, tedy s Möbiem.

Děkuji za spolupráci!
kolejo