Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 11. 2013 14:37

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   
 

počet ireducibilních polynomů nad Z_p

Dobrý den,
mám tu takový příklad, přemýšlím nad tím a chtěl bych do toho, s Vaší pomocí, prosím, proniknout.
$\text{Kolik je normovaných polynomů f }\in \mathbb{Z}_p[x] $
$\text{stupně n ireducibilních nad } \mathbb{Z}_p.$
$n\in \{1,2,...,8\}, p \text{ libovolné prvočíslo}$

Ano, je to tam pro stupně 1 až 8, prosím o pomoc aspoň pro n=2, zbytek bych třeba už zvládl.
Prvočíslo p je tady jako parametr. Zkoušel jsem něco pro p=2, p=3, docela bez úspěchu.
Pro polynomy stupně 1 máme všechny ireducibilní takto: x, x+1, x+2, ..., x+p-1 (celkem p)
A jak dál?

Pomůže mi toto: $x^{p^{n}}-x$ ?

Našel jsem http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barto/st … KonTel.pdf no a na straně 30 PMIP_q,d,
mohu to nějak použít?


Děkuji za pomoc,
kolejo

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) kolejo)

#2 18. 11. 2013 18:17 — Editoval vanok (18. 11. 2013 18:18)

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: počet ireducibilních polynomů nad Z_p

Ahoj ↑ kolejo:,
Asi chces dokazat znamu vetu:
Pocet $I_ {nq}$ normovanych ireduktibilnych polynomov stupna $n$ na konecnom telese $F_q$  je
$I_{nq}=\frac 1n \sum_{d|n}\mu (\frac nd)q^d$.

Po rychlom prebehnuti tvojho materialu, zda sa mi ze mas na to vsetki techniky co treba.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 18. 11. 2013 19:01

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: počet ireducibilních polynomů nad Z_p

↑ vanok:
Dobrý večer,
ano, tak ty techniky bych měl, akorát v tom materiálu, který jsem našel se používá möbiova funkce, kterou my jsme nedělali. Mělo by to jít bez toho.
Z přednášky mám toto:
$\text{Označme } m_{p,d} \text{ počet všech norm. ireduc. polynomů stupně d nad } \mathbb{Z}_p $
$\text{Platí: pro každé prvočíslo p a n přirozené }$
$\sum_{d|n}^{}d\cdot m_{p,d}=p^n$

vím:
m_2,2=1
m_2,1=2

Zkusím nyní m_3,2=?
F_q je teleso o q prvcích, že?
Z_3[x] ma devet prvků (tedy pro n=2, a polynomy jsou normované)
Tedy: n=2, p=3, q=9, d={1,2} (delitele dvojky)
Takze suma s tim möbiem bude:
$I_{nq}=\frac 1n \sum_{d|n}\mu (\frac nd)q^d$
$I_{2,9}=\frac 12 (\mu (\frac 21)9^1+\mu (\frac 22)9^2)$

No a ten výpočet...möbius...nejsem si jistý. Snažím se na to přijít s tím materiálem.
Mám: $\mu (2) = -1, \mu(1)=1$
Nakonec $\frac 12 ((-1)9^1+ (1)9^2)=36$
(OT: někde jsem viděl, že se dají psát pěkné závorky, ale už nevím)
Což je špatně, to je moc. Tak ale pro q máme polovina z -3+9 což je 6/2=3 a to už je pravda.
Tak jsem špatně vzal q.
OK, s möbiem to vyšlo.
Dodal jste mi naději, děkuji Vám, a opřel jsem se do toho. Mám z toho dobrý pocit.

Ještě budu pokračovat sám, je mi zatím vše jasné. Zítra se ozvu s případnými dalšími výsledky. S pozdravem,
kolejo

Offline

 

#4 18. 11. 2013 20:06

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: počet ireducibilních polynomů nad Z_p

Tvoj vzorec je tiez zaujimavy, povoluje postupne podla n  urcit pocet ireduktibilnych polynomov. (Na jeho  dokaz sa pouzije ten vzorec  $x^{p^{n}}-x$ ktory je sucin vsetkych ired. norm. polynomov ktorych d° deli $n$ na $ Z_p$)
Cize v istom zmysle mas odpoved na tvoj problem.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 19. 11. 2013 12:12

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: počet ireducibilních polynomů nad Z_p

↑ vanok:

Tak už to mám pro všechna n ze zadané množiny. Pro mocniny dvou a prvočísla to je ještě jednodušší. Naznačím postup aspoň u m_p,2:
dělitelé dvojky: 1 2
$1\cdot m_{p,1}+2\cdot m_{p,2}=p^2$
$1\cdot p+2\cdot m_{p,2}=p^2$
$2\cdot m_{p,2}=p^2-p$
$m_{p,2}=\frac{p^2-p}{2}$
(m_p,1=p je triviální)

Napíšu tedy zbytek řešení a označím téma za vyřešené.

$m_{p,3}=\frac{p^3-p}{3}$
$m_{p,4}=\frac{p^4-p^2}{4}$
$m_{p,5}=\frac{p^5-p}{5}$
$m_{p,6}=\frac{p^6-p^3-p^2+p}{6}$
$m_{p,7}=\frac{p^7-p}{7}$
$m_{p,8}=\frac{p^8-p^4}{8}$

Je hezké si ověřit, že ty zlomky dávají pro každé prvočíslo číslo přirozené.
No a za "domácí úkol" přepočítat druhým způsobem, tedy s Möbiem.

Děkuji za spolupráci!
kolejo

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson