Matematické Fórum

Důkaz výroku "V(n) pro každé přirozené číslo  n >= m" mat. indukcí se provádí ve dvou krocích.


I. Ověříme (zpravidla provedením zkoušky), zda je splněn výrok V(m).

V případě, že výsledek kroku I je pozitivní, přístoupíme k následujícímu tzv. indukčnímu kroku.


II.  Předpokládáme, že pro nějaké přirozené k >= m  platí V(k),  a z tohoto tzv. indukčního předpokladu odvodíme
platnost výroku V(k + 1) .

Pokud i krok II vyjde pozitivně, je důkaz hotov.


Konkrétně pro Tvůj výrok  - provedu velmi polopatě pokud jde o myšlenky důkazu:

Zřejmě v naší úloze je  m= 1.
Označme L(n)  levou a P(n) pravou stranu dokazované rovnice. (Že jde o funkce proměnné n , je snad zřejmé.)

I. Pro n = 1  je L(1) = 1*2 = 2,   P(1) =  (1/3) *1*2*3  = 2  , takže L(1) = P(1) a I. krok nám vyšel.

II . Předpokládáme, že pro některé přirozené k >= 1  platí

(k)            1*2 + 2*3 + 3*4 + ... +  k( k + 1)  =  (1/3)* k* ( k + 1) * (k + 2)  ,     tedy rovnost  L(k) = P(k)

a snažme se dokázat, že pak platí

(k+1)        1*2 + 2*3 + 3*4 + ...  + (k + 1)*(k + 2)    =   (1/3)* (k + 1)* ( k + 2) * (k + 3) ,    tedy  L(k+1) = P(k+1),

což je rovnost, která vznikne tak, že v rovnosti  (k)  každé "k" formálně zvýšíme na  "k + 1"  .
V tuto chvíli je VELMI DŮLEŽITÉ uvědomit si ze zadání úlohy,  jaký je VZTAH MEZI LEVÝMI STRANAMI rovnic (k) a (k+1) . Je to zřejmě vztah

(A)           L(k + 1)  =  L(k) +  (k + 1)*(k + 2)  .

Dále využijeme indukční předpoklad - tj. rovnici (k) - tím způsobem, že její pravou stranu

               P(k) = (1/3)* k* ( k + 1) * (k + 2)

dosadíme  do rovnice (A) za výraz L(k). Tím obdržíme rovnici

(B)           L(k + 1)  =  (1/3)* k* ( k + 1) * (k + 2)   +  (k + 1)*(k + 2)  .

a snažíme se dokázat, že PRAVÁ STRANA ROVNICE (B) je rovna výrazu   P(k+1)  = (1/3)* (k + 1)* ( k + 2) * (k + 3) ,
neboli že

             (1/3)* k* ( k + 1) * (k + 2)   +  (k + 1)*(k + 2)   -   P(k+1)   =   0  ,

což zpravidla klade menší nároky na matematickou představivost, než například úprava
výrazu (1/3)* k* ( k + 1) * (k + 2)   +  (k + 1)*(k + 2)   do tvaru  P(k+1) .

Tento poslední krok je již pouze záležitostí algebraické úpravy jednotlivých výrazů.