Matematické Fórum

KarlikIV · 01. 04. 2009 15:20

Čau, dostal jsem příklad k testu zařazený mezi otázku množiny, kde mám matematickou indukcí dokázat tuto rovnici.

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... n( n + 1) = 1/3n ( n + 1) * (n + 2)

Vůbec nevím co s tím mám dělat. Zkoušel jsem to udělat tak, že jsem to roznásobil, převedl a jednu stranu n a na druhou čísla, ale řekla mi učitelka, že je to špatně. Nevíte někdo jak to je?

Rumburak

Důkaz výroku "V(n) pro každé přirozené číslo n >= m" mat. indukcí se provádí ve dvou krocích.

I. Ověříme (zpravidla provedením zkoušky), zda je splněn výrok V(m).

V případě, že výsledek kroku I je pozitivní, přístoupíme k následujícímu tzv. indukčnímu kroku.

II. Předpokládáme, že pro nějaké přirozené k >= m platí V(k), a z tohoto tzv. indukčního předpokladu odvodíme
platnost výroku V(k + 1) .

Pokud i krok II vyjde pozitivně, je důkaz hotov.

Konkrétně pro Tvůj výrok - provedu velmi polopatě pokud jde o myšlenky důkazu:

Zřejmě v naší úloze je m= 1.
Označme L(n) levou a P(n) pravou stranu dokazované rovnice. (Že jde o funkce proměnné n , je snad zřejmé.)

I. Pro n = 1 je L(1) = 1*2 = 2, P(1) = (1/3) *1*2*3 = 2 , takže L(1) = P(1) a I. krok nám vyšel.

II . Předpokládáme, že pro některé přirozené k >= 1 platí

(k) 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + k( k + 1) = (1/3)* k* ( k + 1) * (k + 2) , tedy rovnost L(k) = P(k)

a snažme se dokázat, že pak platí

(k+1) 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + (k + 1)*(k + 2) = (1/3)* (k + 1)* ( k + 2) * (k + 3) , tedy L(k+1) = P(k+1),

což je rovnost, která vznikne tak, že v rovnosti (k) každé "k" formálně zvýšíme na "k + 1" .
V tuto chvíli je VELMI DŮLEŽITÉ uvědomit si ze zadání úlohy, jaký je VZTAH MEZI LEVÝMI STRANAMI rovnic (k) a (k+1) . Je to zřejmě vztah

(A) L(k + 1) = L(k) + (k + 1)*(k + 2) .

Dále využijeme indukční předpoklad - tj. rovnici (k) - tím způsobem, že její pravou stranu

P(k) = (1/3)* k* ( k + 1) * (k + 2)

dosadíme do rovnice (A) za výraz L(k). Tím obdržíme rovnici

(B) L(k + 1) = (1/3)* k* ( k + 1) * (k + 2) + (k + 1)*(k + 2) .

a snažíme se dokázat, že PRAVÁ STRANA ROVNICE (B) je rovna výrazu P(k+1) = (1/3)* (k + 1)* ( k + 2) * (k + 3) ,
neboli že

(1/3)* k* ( k + 1) * (k + 2) + (k + 1)*(k + 2) - P(k+1) = 0 ,

což zpravidla klade menší nároky na matematickou představivost, než například úprava
výrazu (1/3)* k* ( k + 1) * (k + 2) + (k + 1)*(k + 2) do tvaru P(k+1) .

Tento poslední krok je již pouze záležitostí algebraické úpravy jednotlivých výrazů.

gadgetka · 01. 04. 2009 16:44

ověříme platnost hypotézy pro nejmenší přípustné n=1:
$L(1) = 1(1+1)=2 \nlP(1) = \frac{1}{3}\cdot 1\cdot (1+1)\cdot (1+2)=2\nlL(1)=P(1)$

Tím jsme dokázali, že pro n=1 vztah platí.

Z předpokladu, že hypotéza platí pro libovolné přirozené číslo k, dokážeme, že platí i pro (k+1):
Předpokládáme:
$1\cdot 2+2\cdot 3+...+k(k+1)=\frac{1}{3}k\cdot (k + 1) \cdot (k + 2)$

Užitím indukčního předpokladu dostáváme:
$L(k+1)=\frac{1}{3}k\cdot (k + 1) \cdot (k + 2)+(k+1)(k+2)=\frac{k\cdot (k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\nlP(k+1)=\frac{1}{3}(k+1)\cdot (k + 1+1) \cdot (k + 2+1)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\nlL(k+1)=P(k+1)$

Tím jsme dokázali: platí-li vztah pro libovolné přirozené číslo k, platí i pro (k+1).

Podle principu matematické indukce daný vztah platí pro každé přirozené číslo n.

Matematické Fórum

#1 01. 04. 2009 15:20

Množiny

#2 01. 04. 2009 16:25 — Editoval Rumburak (03. 04. 2009 10:17)

Re: Množiny

#3 01. 04. 2009 16:44

Re: Množiny

Zápatí