Matematické Fórum

janca361 · 17. 11. 2014 11:18

Zdravím,
mám následující příklad:
Najděte pomocí Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu ortogonální bázi podprostoru $\mathbb{R}^4$ generovaného vektory $\mathbf{u}_1=(0,0,3,4)$ , $\mathbf{u}_2=(-1,2,-1,2)$ , $\mathbf{u}_3=(2,1,0,1)$ . Vyjděte ze zadaného pořadí vektorů, výsledné vektory nenormujte.

Dokázala jsem správně určit $\vec{v}_1$ a $\vec{v}_2$ , $\vec{v}_3$ mi nevychází.
$\vec{v}_1=u_1=(0,0,3,4)$
$\vec{v}_2=(-1,2,-\frac85,\frac65)$

$\vec{v}_3=\vec{u}_3+a \cdot \vec{v}_2+b \cdot \vec{v}_1$

Má platit:
$\langle \vec{v}_1,\vec{v}_3\rangle=0$
$\langle \vec{v}_2,\vec{v}_3\rangle=0$

$\langle \vec{v}_1,\vec{v}_3 \rangle= \langle \vec{v}_1,\vec{u}_3+a \cdot \vec{v}_2+b \cdot \vec{v}_1 \rangle= \langle \vec{v}_1,\vec{u}_3\rangle+a \cdot \langle \vec{v}_1,\vec{v}_2\rangle+b \cdot \langle\vec{v}_1,\vec{v}_1\rangle = 0$

$\langle \vec{v}_1,\vec{u}_3\rangle=4$
$\langle \vec{v}_1,\vec{v}_2\rangle=0$
$\langle\vec{v}_1,\vec{v}_1\rangle=25$

$4+a \cdot 0+b \cdot 25 = 0 \\ 25b=-4 \\ b=-\frac{4}{25}$

$\vec{v}_3=(2,1,0,1)+a \cdot (-1,2,-\frac85,\frac65) -\frac{4}{25} \cdot (0,0,3,4)=(2,1,-\frac{12}{25},\frac{7}{25})+a \cdot (-1,2,-\frac85,\frac65)$

Co s tím $a$ , dopočítat stejně jako $b$ , z $\langle \vec{v}_2,\vec{v}_3\rangle=0$ ?

Předem díky za pomoc.

jelena · 17. 11. 2014 13:33

Zdravím,

ano, měla bys ještě počítat ještě z $\langle \vec{v}_2,\vec{v}_3\rangle=0$ koeficient $a$ (jelikož ve výpočtu se objevuji nové vektory báze, o kterých víš, že jsou kolmé, tak tato dvojice ve skalárním součinu "vynuluje" svůj koeficient). Výpočty jsem nekontrolovala, ale tu jsme s kolegou cvičili využití WA pro takové úlohy, možná něco použiješ pro kontrolu.

Ozvi se, jak se vede.

janca361 · 22. 11. 2014 18:15

↑ jelena:
Super díky. Myslela jsem si to ;)

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2014 11:18

Ortogonizační proces

#2 17. 11. 2014 13:33

Re: Ortogonizační proces

#3 22. 11. 2014 18:15

Re: Ortogonizační proces

Zápatí