Matematické Fórum

.. · 24. 06. 2009 00:08 — Editoval .. (25. 06. 2009 21:47)

Vyreseno, dekuji!

edit: Tak nakonec vzdalenost bodou v rovine, prosim jeste o vypocet kratsi pruziny, viz. posledni prispevek. diky

nevim si rady s touto geometrickou ulohou (viz. obrazek). Jedna se o inverzni kyvadlo, na ktere jsou v pulce jeho delky uchyceny pruziny a ve stejny vysce jsou tyto pruziny ukotveny ve zdi. Pokud kyvadlo vychylime o uhel fi, tak se jedna pruzina natahne a zaroven take trochu vychyli, druha se pochopitelne smrskne. Muj problem je v tom, ze neumim spocitat delku pruziny v tomto vychylenem stavu, respektive o kolik se prodlouzi proti klidovemu stavu, to same s druhou pruzinou. Na vyreseni by pry mela stacit pythagorova veta a zakladni goniometricke fce, bohuzel jsme nejak nevykoumali, jak na to. Verim, ze pro matematicke mozky to bude jednoduche.. predem diky za kazdou radu
obrazek

jelena · 24. 06. 2009 09:31 — Editoval jelena (24. 06. 2009 13:24)

↑ ..:

Zdravím,

snad to nebude úplně nesmysl (svedu to na ranní hodinu):

Bod C z původní polohy se posouvá při protažení do bodu A. Trojuhelnik ABC je rovnoramenny, u vrcholu uhel $\phi,$ ramena = délka l, odsud najdeme délku základny x (AC) (kosinová věta), a dopočteme uhel ACB (horní u pravého ramena).

Uhel ACB + 90 stupňů tvoří uhel ACK v trojuhelníku ACK. V trojuhelníku ACK víme stranu AC, stranu CK = d a uhel u vrcholu ACK . Podle kosinove vety dopočteme délku AK, která se sklada z hledaného prodloužení a původní délky d.

Omlouvám se za kvalitu provedení (v mém případě provedení s tabletem nebo bez nemá žadný rozdíl)

http://forum.matweb.cz/upload/1245828605-geometrie.JPG

Může být?

EDIT: na upozornění kolegy Olina opraveno, že se posouvá bod C do A, děkuji :-)

Olin · 24. 06. 2009 09:39

Známe dvě strany (o délkách $l$ a $\sqrt{d^2 + l^2}$ a úhel mezi nimi (ten je $\varphi + \alpha$ , kde $\alpha = \mathrm{arctg}$\frac{d}{l}$$ ). Podle kosinové věty pak je
$x^2 = l^2 + (d^2 + l^2) - 2l\sqrt{d^2 + l^2}\cos(\varphi + \alpha)$ .

Ivana · 24. 06. 2009 10:15

↑ ..:.. vidím, že kolegové již příklad vyřešili, ale přesto posílám své řešení :

Olin · 24. 06. 2009 11:20

↑ Ivana:
Zdravím, dívám se na tvé řešení a jedna věc mi není zcela jasná - jak jsi přišla na to, že úhel ADB má velikost φ? Podle mě toto bude platit jen tehdy, když ACDB bude tětivový čtyřúhelník (tedy všechny 4 body na jedné kružnici), což v obecném případě nemusí být pravda.

↑ jelena:
Také zdravím, zde mi není jasná formulace

Bod B z původní polohy se posouvá při protažení do bodu A.

Ne spíš bod C do bodu A?
Jinak pro zjištění délky základy AC není třeba tasit tak silné zbraně jako kosinovou větu, buď si pamatujeme vzoreček nebo snadno odvodíme, že
$\frac 12 |AC| = |AB|\sin $ \frac{\varphi}{2} $$ . Z rovnoramennosti trojúhelníka ABC pak taky ještě můžeme snadno odvodit velikostí úhlů u krajních bodů základny $90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}$ . Jinak s postupem principiálně souhlasím :-)

No jo, je ráno :-)

.. · 24. 06. 2009 13:07

diky vsem! tolik odpovedi jsem ani necekal. Hned overim, jestli to bude fungovat (cele to kyvadlo je mechanicky model, vzdalenost je jenom jeho soucast).

jelena · 24. 06. 2009 13:22

↑ Olin:

a) ano, bod C se posouvá do bodu A, děkuji - opravím.

b) kosinová věta v rovnoramenném trojuhelníku není až tak silná zbraň: $|AC| =|AB|\sqrt{2(1-\cos {\varphi}})$ - představa, že do obrázku zakreslím ještě jednu čáru navíc, je daleko horší. Velikost úhlu v rovnoramenném trojuhelníku - bez debaty, však já neřikám - ják se dopočítá, jen že se dopočítá.

Na principu řešení je zřejmý rozdíl v pohledu na svět v ranních hodinách - kolega Olin se dívá na úlohu z pohledu pravodolního - tedy ještě vleže. My s Ivanou - pravohorně - tedy jsme už vzhuru (já alespoň fyzicky, když už ne duševně - mám to každou středu náročné - začínám pracovat již v 7.00 a ihned pracovní schůzkou (jindy až od 8.30))

↑ Ivana:, ↑ Olin:

A vážně: nebyla dohoda, že pokud někdo něco začne řešit, tak dá do tématu kolegům oznámení http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=358 Třeba já bych se vůbec nenamáhala, kdybych takové oznámení viděla (lenost a mé jméno přec mají stejný kořen).

Ať se daří :-)

.. · 24. 06. 2009 18:11 — Editoval .. (24. 06. 2009 18:25)

Olin napsal(a):
http://forum.matweb.cz/upload/1245828769-kyvadlo.png

Známe dvě strany (o délkách $l$ a $\sqrt{d^2 + l^2}$ a úhel mezi nimi (ten je $\varphi + \alpha$ , kde $\alpha = \mathrm{arctg}$\frac{d}{l}$$ ). Podle kosinové věty pak je
$x^2 = l^2 + (d^2 + l^2) - 2l\sqrt{d^2 + l^2}\cos(\varphi + \alpha)$ .

jeste dotaz, bude pro tu smrsklou pruzinu platit totez, akorat na konci v kosinu bude alfa-fi? tzn. $x^2 = l^2 + (d^2 + l^2) - 2l\sqrt{d^2 + l^2}\cos( \alpha - \varphi)$ nebo je to uplne jinak?

a jeste by me zajimalo, jak by se to zjednodusilo, kdyby platilo l=d. diky

Chrpa · 24. 06. 2009 18:49 — Editoval Chrpa (24. 06. 2009 18:57)

↑ ..:
Pokud jsem dobře upravoval, pak pokud by $l=d\,\Rightarrow\,\alpha=45^\circ$ pak:
$x=l\cdot\sqrt{3+2(\sin\,\varphi-\cos\,\varphi)}$

.. · 24. 06. 2009 18:59 — Editoval .. (24. 06. 2009 19:03)

Chrpa napsal(a):
↑ ..:
Pokud jsem dobře upravoval, pak pokud by $l=d\,\Rightarrow\,\alpha=45^\circ$ pak:
$x=l\cdot\sqrt{3+2(\sin\,\varphi-\cos\,\varphi)}$

diky a pro tu kratsi vzdalenost na druhy strane kyvadla (smrskla pruzina)?

.. · 24. 06. 2009 19:57

tak jsem jeste dostal informaci, ze by to melo jit udelat mnohem jednoduseji pomoci vzdalenosti bodu v rovine. Jde o to, ze to potom budu muset zderivovat podle fi, takze cim jednodussi vyraz, tim lepe.

jelena · 24. 06. 2009 22:32 — Editoval jelena (24. 06. 2009 22:42)

↑ ..:

Kdo Tobě vlastně braní udělat to mnohem jednodušeji? Zejména s ohledem na to, že to budeš muset derivovat?

Můj nápad - umístím počátek souřadnic (0, 0) do bodu upěvnení paty kyvadla. Pravý bod upěvnění pružiny bude mít souřadnice K (d, l), to jsou x_0, y_0. Počáteční levý bod upevnění pružiny na kyvadlu bude mít souřadnice (0, l).

Při posunu o úhel $\varphi$ bod upěvnění se posune do pozice A se souřadnici:

$x_1=-l\cdot \sin \varphi$

$y_1=l\cdot\cos\varphi$

vzdálenost bodů A, K (z analytiky) - vytvoříme funkci f(phi):

$f(\varphi)=|AK|=\sqrt{\left(d+l\cdot \sin \varphi\right)^2+\left(l-l\cos\varphi\right)^2}$

Kolegové?

-----------
"Да и нет - слова загадки" a text

.. · 24. 06. 2009 23:49 — Editoval .. (24. 06. 2009 23:53)

jelena napsal(a):
↑ ..:

Kdo Tobě vlastně braní udělat to mnohem jednodušeji? Zejména s ohledem na to, že to budeš muset derivovat?

nikdo, akorat me to proste nenapadlo :( rada znela delat to pres trojuhelniky, tak uz sem ani nad nicim jinym nepremyslel, proto jsem to tak formuloval i tady.. dekuji

Olin · 25. 06. 2009 11:25 — Editoval Olin (25. 06. 2009 11:48)

↑ ..:
Ano, myslím, že tam bude $\alpha - \varphi$ .

Jinak pokud mohu hovořit z vlastních zkušeností s takovýmito úlohami - často jde o to, že se berou jen velmi malé výchylky kyvadla, takže pak jdou udělat aproximace jako $\sin \varphi \approx \varphi$ (samozřejmě pro argument v radiánech, slušně použitelné do nějakých pěti stupňů). Pěkný textík o takovýchto úlohách je studijní text FO: http://fo.cuni.cz/texty/kmity.pdf

↑ jelena:
Já myslím, že je to správně. Pro "náhodné" hodnoty to dává stejné výsledky jako můj vzorec, je to tedy správně :-)
Hmm, je to takto mnohem jednodušší než přes nějaké trojúhelníky.

.. · 25. 06. 2009 16:10

jelena napsal(a):
↑ ..:

Kdo Tobě vlastně braní udělat to mnohem jednodušeji? Zejména s ohledem na to, že to budeš muset derivovat?

Můj nápad - umístím počátek souřadnic (0, 0) do bodu upěvnení paty kyvadla. Pravý bod upěvnění pružiny bude mít souřadnice K (d, l), to jsou x_0, y_0. Počáteční levý bod upevnění pružiny na kyvadlu bude mít souřadnice (0, l).

Při posunu o úhel $\varphi$ bod upěvnění se posune do pozice A se souřadnici:

$x_1=-l\cdot \sin \varphi$

$y_1=l\cdot\cos\varphi$

vzdálenost bodů A, K (z analytiky) - vytvoříme funkci f(phi):

$f(\varphi)=|AK|=\sqrt{\left(d+l\cdot \sin \varphi\right)^2+\left(l-l\cos\varphi\right)^2}$

Kolegové?

slo by pls jeste pro tu druhou?? tzn. bod treba L (-d,-l) a vzdalenost |AL| ja sem na tohle fakt blbej :( diky

jelena · 25. 06. 2009 19:40

↑ Olin:

Děkuji moc za kontrolu :-)

↑ ..:

Edituj, prosím, svoje komentáře o o schopnostech - doufám totiž, že studuješ nějakou techniku a to přec nemůže studovat někdo, kdo by nebyl dost matematicky zdatny.

Leva pružina je pevne ukotvena v poloze L (-d, l) (u l není žadný minus, kdyby byl minus, tak je pod stolem) a teď uvažuj - když pohyblivý konec prodloužené pružiny se dostane do polohy bodu A

$x_1=-l\cdot \sin \varphi$

$y_1=l\cdot\cos\varphi$

tak kam se asi dostane pohyblivý konec zkracující se pružiny (do kterého bodu)?

tvoř $g(\varphi)=...$

Pro vzdálenost libovolných bodu v rovine (treba M, N platí):

$|MN|=\sqrt{\left(x_N-x_M)^2+\left(y_N-y_M)^2}$

Já teď musím pohovořit s jedním z vrcholů technického pokroku - s vysavačem, doufám, že večer už všechno bude OK. Někdo z kolegů jistě dohledne, děkuji.

.. · 25. 06. 2009 20:09

jelena napsal(a):
↑ Olin:

Děkuji moc za kontrolu :-)

↑ ..:

Edituj, prosím, svoje komentáře o o schopnostech - doufám totiž, že studuješ nějakou techniku a to přec nemůže studovat někdo, kdo by nebyl dost matematicky zdatny.

Leva pružina je pevne ukotvena v poloze L (-d, l) (u l není žadný minus, kdyby byl minus, tak je pod stolem) a teď uvažuj - když pohyblivý konec prodloužené pružiny se dostane do polohy bodu A

$x_1=-l\cdot \sin \varphi$

$y_1=l\cdot\cos\varphi$

tak kam se asi dostane pohyblivý konec zkracující se pružiny (do kterého bodu)?

tvoř $g(\varphi)=...$

Pro vzdálenost libovolných bodu v rovine (treba M, N platí):

$|MN|=\sqrt{\left(x_N-x_M)^2+\left(y_N-y_M)^2}$

Já teď musím pohovořit s jedním z vrcholů technického pokroku - s vysavačem, doufám, že večer už všechno bude OK. Někdo z kolegů jistě dohledne, děkuji.

jo technika to je, ale proste nekdo je na matiku, rekneme, mene zdatny..
podle vzorce teda doufam ze takhle:
$g(\varphi)=|AL|=\sqrt{\left(-d+l\cdot \sin \varphi\right)^2+\left(l-l\cos\varphi\right)^2}$

jelena · 25. 06. 2009 20:46

↑ ..:

Myslím, že je to tak dobře, děkuji.

Je to už pro model dostačující?

Ať se daří :-)

.. · 25. 06. 2009 21:02 — Editoval .. (25. 06. 2009 21:46)

↑ jelena:

model uz musim dat dohromady, ted to jen dobre zderivovat a nabouchat do matlabu. diky moc!

edit: takze s radosti oznamuji, ze nakonec vse funguje. jeste jednou dekuji vsem zucastnenym.

jelena · 26. 06. 2009 01:02

↑ ..:

Tak to já teď budu s radosti radovat a i nadále věřít technikům :-) Také se mi libí systematický přístup, že na úvod tématu je oznámení "Vyřešeno"

Děkuji za zprávu a ať se vede :-)

--------
Hudebním doprovodem tohoto tematu je absolutní úlet z dob nášeho studia na technice a ještě mám radost, že je vše vyřešeno zde :-)
.

Ivana · 29. 06. 2009 20:23

Olin napsal(a):
↑ Ivana:
Zdravím, dívám se na tvé řešení a jedna věc mi není zcela jasná - jak jsi přišla na to, že úhel ADB má velikost φ? Podle mě toto bude platit jen tehdy, když ACDB bude tětivový čtyřúhelník (tedy všechny 4 body na jedné kružnici), což v obecném případě nemusí být pravda.

Ten úhel $\phi$ jsem si uvědomila , že není správně určený, ale byla jsem mimo počítač a proto jsem již nezareagovala , činím tedy tak nyní . Ale vidím , že úloha je již dostatečně vyřešena. :-)

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2009 00:08 — Editoval .. (25. 06. 2009 21:47)

Geometricka uloha - trojuhelniky

#2 24. 06. 2009 09:31 — Editoval jelena (24. 06. 2009 13:24)

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#3 24. 06. 2009 09:39

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#4 24. 06. 2009 10:15

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#5 24. 06. 2009 11:20

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#6 24. 06. 2009 13:07

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#7 24. 06. 2009 13:22

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#8 24. 06. 2009 18:11 — Editoval .. (24. 06. 2009 18:25)

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

Olin napsal(a):

#9 24. 06. 2009 18:49 — Editoval Chrpa (24. 06. 2009 18:57)

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#10 24. 06. 2009 18:59 — Editoval .. (24. 06. 2009 19:03)

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

Chrpa napsal(a):

#11 24. 06. 2009 19:57

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#12 24. 06. 2009 22:32 — Editoval jelena (24. 06. 2009 22:42)

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#13 24. 06. 2009 23:49 — Editoval .. (24. 06. 2009 23:53)

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

jelena napsal(a):

#14 25. 06. 2009 11:25 — Editoval Olin (25. 06. 2009 11:48)

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#15 25. 06. 2009 16:10

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

jelena napsal(a):

#16 25. 06. 2009 19:40

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#17 25. 06. 2009 20:09

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

jelena napsal(a):

#18 25. 06. 2009 20:46

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#19 25. 06. 2009 21:02 — Editoval .. (25. 06. 2009 21:46)

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#20 26. 06. 2009 01:02

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

#21 29. 06. 2009 20:23

Re: Geometricka uloha - trojuhelniky

Olin napsal(a):

Zápatí