Matematické Fórum

mbendi · 27. 06. 2009 18:01

ahojte.
mam zadany takyto priklad:
Uvazujeme v priestore R^2 funkciu f(x,y) definovanu vztahom f(x,y)=arctg(y/x). Nech bod A=[2,b] lezi na krivke y=x^3, x patri R a nech H je jednotkovy vektor vychadzajuci z bodu A v smere kolmice ku dotycnici v tomto bode ku krivke y=x^3. Vypocitajte derivaciu f(x,y) v bode A v smere H.

pocital som to nasledovne
b=8
vyjadril som parcialne derivacie implicitnej funkcie x^3-y=0 a dopocital z toho dotycnicu. ta mi vysla 12x-y-16=0. z toho smerovy vektor = [12,-1] -> normalovy = [1,12].
H ma byt jednotkovy(pocital som ho z normaloveho) = $[\frac{1}{\sqrt{145}},\frac{12}{\sqrt{145}}]$
teraz som robil parcialne derivacie z funkcie f(x,y)=arctg(y/x). tie vysli: f'x=-2/17, f'y=1/34.
vysledok je $f_H(A)=\frac{4}{17\sqrt{145}}$

mozte mi to niekto prosim vas skontrolovat? aj ten postup ci som robil dobre..

jelena · 27. 06. 2009 21:15

Zdravím,

Uvazujeme v priestore R^2 funkciu f(x,y) definovanu vztahom f(x,y)=arctg(y/x).

Nech bod A=[2,b] lezi na krivke y=x^3,

z toho je dopočtena 2. souřádnice bodu A (b=8), OK

nech H je jednotkovy vektor vychadzajuci z bodu A v smere kolmice ku dotycnici v tomto bode ku krivke y=x^3

dotyčnice se dá počítat rovnou bez parciální derivace ze zadání křívky y=x^3 jako $(y-y_0)=y^{\prime}(x_0)(x-x_0)$ , vysledek 12x-y-16=0 mám stejny, ale snad rychlejsi postup.

vyjadril som parcialne derivacie implicitnej funkcie x^3-y=0 a dopocital z toho dotycnicu. ta mi vysla 12x-y-16=0. z toho smerovy vektor = [12,-1] -> normalovy = [1,12].

Zde je potreba opravit - vektor, který jsi "vytahl" z 12x-y-16=0, vektor [12,-1] je normalovy pro dotycnicu, je tedy ve směru kolmice ku dotyčnici a zaroven smerovy pro smer H.

To znamená, že bez další úpravy už máme směrový vektor pro H, je to [12,-1].

Dál už bych pokračovala podle postupu, úplně poslední příklad. Jednotkový vektor není třeba, pouze parciální derivace.

Můžeme odkontrolovat závěr řešení (to jsem ještě nekontrolovala), pokud souhlasíš s návrhem na opravu ohledně normalového vektoru.

OK?

mbendi · 28. 06. 2009 03:20

asi som mal davat na strednej vacsi pozor aby som si neplietol smerovy a normalovy vektor. dakujem za opravu.
v zadani je ale napisane ze H je jednotkovy vektor, cize ma mat dlzku 1, ak som to spravne pochopil. preto som ho este upravil. ten koniec uz by mal byt dobre, robil som to rovnako ako je v tom priklade

jelena · 28. 06. 2009 16:39

↑ mbendi:

Uvažuji, zda "jednotkovost vektoru" má nějaký vliv na výsledek (když je podstatný směr) - třeba někdo z kolegů osvětlí, děkuji.

Ale určitě vektoru nemůžeme ubližit, když ho na jednotkový převedeme.

Na závěru výpočtu se shodneme, pokud jsou parciální derivace v pořádku (což se mi nechce domyšlet z číselných výsledků po dosažení ↑ mbendi:), jinak už by neměl být žádný zádrhel.

OK?

Takétato úloha byla dotažena do konce a dokonce před 2 lety (hlavně, že shodně :-)

Matematické Fórum

#1 27. 06. 2009 18:01

derivacia v smere h

#2 27. 06. 2009 21:15

Re: derivacia v smere h

#3 28. 06. 2009 03:20

Re: derivacia v smere h

#4 28. 06. 2009 16:39

Re: derivacia v smere h

Zápatí