Matematické Fórum

Olin · 22. 12. 2009 17:30

Zdravím kolegy,

problém je s následující řadou:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n! \mathrm{e}^n}{n^{n+p}},\quad p \in \mathbb{R}$
Limita z Raabeho kritéria dává $p-\frac 12$ , takže pro $p > \frac 32$ řada konverguje a pro $p < \frac 32$ diverguje. Problém nastává pro $p = \frac 32$ .
Srovnáním s divergentním $\frac 1n$ dostaneme limitu
$\lim_{n \to \infty} \frac{n! \mathrm{e}^n}{n^{n+1/2}} = \sqrt{2 \pi}$
kde výsledek znám ovšem jen díky Stirlingově aproximaci.

Otázka zní: dá se divergence této řady ukázat i jinak, s elementárnějším aparátem?

Marian · 26. 02. 2010 14:33

↑ Olin:

Nebude tvůj problém řešit přístup, kde se pokusíme nějakým snadným způsobem dostat Stirlingův vzorec? Obecný tvar sčítance této řady předurčuje tuto formuli k použití při řešení otázek o konvergenci nebo divergenci řady.

Rumburak

↑ Olin:
Mně to nevychází zase až tak složitě (tedy pokud tam nemám chybu):

$a_n \, := \frac{n! \mathrm{e}^n}{n^{n+\frac{3}{2}}}$ , takže $a_{n+1} \,= \frac{(n+1)! \mathrm{e}^{n+1}}{(n+1)^{n+1+\frac{3}{2}}} = \frac{n! \mathrm{e}^{n}\cdot (n+1) \mathrm{e}}{(n+1)^{n+\frac{3}{2}}\cdot (n+1)}= \frac{n! \mathrm{e}^{n}\cdot \mathrm{e}}{(n+1)^{n+\frac{3}{2}}}$ a $\frac {a_{n+1}}{a_n} = \frac {\mathrm{e}}{(1 + \frac{1}{n})^{n+\frac{3}{2}}} \to {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$ .

D´Alembert by potom dával konvergenci . (???)

EDIT. TENTO VÝPOČET JE ŠPATNĚ. Viz ↑ BrozekP:, ↑ Rumburak:
Jako odstrašující příklad to tu nechám.

Pavel Brožek · 26. 02. 2010 15:36

Máš :-)

$\frac {a_{n+1}}{a_n} = \frac {\mathrm{e}}{(1 + \frac{1}{n})^{n+\frac{3}{2}}}=\frac {\mathrm{e}}{(1 + \frac{1}{n})^{n}\cdot(1+\frac1n)^{\frac{3}{2}}} \not{\to} {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$

Rumburak

↑ BrozekP:, ↑ Olin:
Díky, v roztržitosti jsem použil "vzorec" $$1 + \frac{1}{n}$^{n + c} = $\(1 + \frac{1}{n}$^n\)^c$ , který NEPLATÍ.

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2009 17:30

Řada (Děmidovič 2600)

#2 26. 02. 2010 14:33

Re: Řada (Děmidovič 2600)

#3 26. 02. 2010 15:30 — Editoval Rumburak (26. 02. 2010 16:34)

Re: Řada (Děmidovič 2600)

#4 26. 02. 2010 15:36

Re: Řada (Děmidovič 2600)

#5 26. 02. 2010 15:46 — Editoval Rumburak (26. 02. 2010 16:35)

Re: Řada (Děmidovič 2600)

Zápatí