Matematické Fórum

Tomas.P · 10. 03. 2010 10:31

Zdravím. Zajímá mě, jak by se dala vyřešit matematickou indukcí následující rovnost: M= ( $\forall n \in N$ ) : 1^3+2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2 . Pro n=1 to vychází L=P. Pro n+1 jsem se seknul u té pravé strany rce.

ii) $n+1 \in M$

(1+2+...+n)^2 + (n+1)^3 = [1+2+...+(n+1)]^2

musixx · 10. 03. 2010 10:42

Není to až takové ulehčení, ale zkus se na tu dokazovanou rovnost podívat opačně (přehoď levou a pravou stranu). Myšlenka indukčního kroku pak bude (umocním jako dvoučlen na druhou): $(1+\cdots+(n-1)+n)^2=(1+\cdots+(n-1))^2+2(1+\cdots+(n-1))n+n^2=1^3+\cdots+(n-1)^3+2n\frac{n(n-1)}2+n^2=1^3+\cdots+(n-1)^3+n^3$ .

Rumburak

↑ Tomas.P:
Tvá cesta také není marná, stačí použít úpravu podle vzorce pro rozdíl "čtverců" a vzorec pro součet 1 + 2 + ... + n.

Třeba takto:

$[1+2+...+(n+1)]^2 \,-\, (1+2+...+n)^2 \,=\, (n+1)\cdot [2(1+2+...+n) \,+\, (n+1)] \,=\,(n+1)\cdot [n(n+1) \,+\, (n+1)] \,=\,(n+1)^3$

(není to jediná možnost).

Tomas.P · 10. 03. 2010 14:16

Rumburak
Můžeš prosím trochu přiblížit, co jsi myslel tím vzorcem pro součet 1 + 2 + ... + n?

Při řešení od musixx jsem se trochu ztratil :(

ObiWanTin · 10. 03. 2010 14:26

↑ Tomas.P:
Predpokladam, ze Rumburak myslel vzorec $1+2+ \ldots + n = \frac{1}{2}n (n - 1)$

musixx · 10. 03. 2010 14:28 — Editoval musixx (10. 03. 2010 14:44)

↑ Tomas.P: Dobře jsem ti radil, ať se na tu rovnost podíváš jinak, že to tak bude "snažší" (přímočařejší úpravy), i když ne principielně. ↑ Rumburak: ti vyřešil tvoji rovnost (1+2+...+n)^2 + (n+1)^3 = [1+2+...+(n+1)]^2, na které -- jak píšeš -- ses zaseknul, ale je vidět, že to chce trošku větší nadhled (s čímž samozřejmě Rumburak nemá sebemenší problém) umět odečíst $(1+\cdots+n)^2$ od $(1+\cdots+(n+1))^2$ . Dokonce i ten rozdíl čtverců (mimochodem: vtipně použitý) by se dal ušetřit, protože můžeš také dvakrát aplikovat součet prvních x přirozených čísel: $(1+\cdots+(n+1))^2-(1+\cdots+n)^2=\left(\frac12(n+1)(n+2)\right)^2-\left(\frac12n(n+1)\right)^2=\frac{(n+1)^2}4\cdot\left((n+2)^2-n^2\right)=\frac{(n+1)^2}4\cdot(4n+4)=(n+1)^3$ .

A kde ses ztratil v tom mém? Prostě si jen za $1+\cdots+(n-1)$ představ třeba $a$ , chceš-li. Pak tedy začínám $(a+n)^2=a^2+2an+n^2$ . Na $a^2$ použiji indukční předpoklad, pak ještě $a$ samo sečtu (jde o součet čísel 1 až n-1, tedy známé $\frac{n(n-1)}2$ -- vychází se součtu prvních členů aritmetické posloupnosti), no a na závěr upravím $2n\frac{n(n-1)}2+n^2=n^2(n-1)+n^2=n^3$ .