Matematické Fórum

gsdv · 09. 03. 2010 13:51

Ahoj měla bych tu zoufalou prosbu pro trpělivé matematikáře: mohl by mě někdo polopaticky vysvětlit co to vlastně je logaritmus? k čemu vlastně je? a jak se počítá?

Doxxik · 09. 03. 2010 14:16

Zdravím,

začal bych asi tím, že by sis měl něco o nich přečíst. Ať už v učebnici nebo třeba tady. Pak je nejlepší se ptát na konkrétní věci, které Ti nejsou jasné..

halogan · 09. 03. 2010 14:16

Vypadá to zhruba takto:

$\log_a b = c$

Teď co ta písmenka reprezentují. Slovy řečeno: jsou tři čísla, máš nějaký základ (a), argument (b) a zjišťuješ exponent (c), pro který platí, že základ umocněn na ten exponent se rovná tomu argumentu.

$a^c = b$

Názorněji: máš dekadický logaritmus (logaritmus o základu 10) z třeba tisícovky. Na kolikátou musíš umocnit desítku, abys dostala 1000? Na 3. Výsledek je tedy 3.

$\log 1000 = 3$

$\log \frac{1}{10} = -1$

---

A nějaké ty podmínky. Základ musí být kladný a nesmí se rovnat jedné, argument musí být kladný a exponent libovolný. Všechno to ale musí být reálná čísla.

gsdv · 10. 03. 2010 13:13

Takže chápu to dobře že logaritmování je jakoby opak umocňování?

musixx · 10. 03. 2010 13:20 — Editoval musixx (10. 03. 2010 13:23)

↑ gsdv: Dá se to tak s nadsázkou říct. Možná lepší je vyjádření "počítání (jen) s exponenty".

EDIT: Tazatelka jistě pod pojmem "umocňování" viděla nikoli "moje číslo na třetí", ale "tři na moje číslo". Laskavý čtenář se dovtípí..

Cheop · 10. 03. 2010 13:26 — Editoval Cheop (10. 03. 2010 13:34)

↑ gsdv:
Opakem umocňování je odmocňování i když to taky není přesné.

gsdv · 10. 03. 2010 15:56

Prostě to s těma logaritmama není jednoduchý. Takže když teda budu chtít cokoliv logaritmovat tak se stane co?

jelena · 10. 03. 2010 23:32

gsdv napsal(a):
Takže když teda budu chtít cokoliv logaritmovat tak se stane co?

Těžko říct. Když budeš chtit logaritmovat (-1) v R, tak se asi nestane nic.

Možna by opravdu stalo za to nasledovat doporučení kolegů, něco trochu počíst teorie a něco malo se podívat na typy úloh a řešených příkladu - viz kapitola 2.9

Jelikož všechno se dobře vysvětluje s historickým podtextem, tak jsem se dívala na nějaký materiál k historii logaritmů, narazila jsem však na tento članek, ale moc jsem nerozuměla, zda autor nalezl tu správnou cestu k vysvětlování logaritmů na SŠ.

----
Cesta je nekonečná, odnikud nikam vede

halogan · 10. 03. 2010 23:38

Logaritmování plyne z jedné krásné vlastnosti funkcí. Občas určitě na škole řešíte, kdy je funkce prostá. To je taková hezká vlastnost, že kdykoliv vezmu dva různé argumenty, $x_1$ , $x_2$ , tak pro ně dostanu i různé funkční hodnoty. Kdybych tedy udělal libovolnou rovnoběžku s osou x, tak mi protne graf funkce v nejvýše jednom bodě.

K čemu nám tahle vlastnost je? Pokud máme rovnost dvou kladných (to je definiční obor logaritmu) výrazů, třeba funkce a konstanty:

$f(x) = K,$

tak se nám budou rovnat i logaritmy (o stejném základu) těchto výrazů:

$\log_z f(x) = \log_z K.$

Tedy za předpokladu, že f(x) > 0 pro každé x.

Je dobré rozmyslet si, proč tomu tak je.

---

Sbírejme body! Tentokrát pro ty, co sledují televizi. Z jaké reklamy je tato písnička?

Mr.Pinker · 11. 03. 2010 10:17

nebude nejednoudužíš to vysvětlit že logaritmy sou opak exponenciál

Pavel · 11. 03. 2010 10:47

↑ gsdv:

Asi největší výhoda logaritmů je v tom, že umožňují převádět složitější aritmetické operace na jednodušší. Myslím tím převádění násobení a dělení na sčítání a odčítání podle vzorce

$\large \log_a(xy)=\log_ax+\log_ay,\qquad\qquad\log_a\frac xy=\log_ax-\log_ay.$

a umocňování a odmocňování na násobení a dělení podle vzorce

$\large \log_ax^t=t\log_ax,\qquad\qquad\log_a\sqrt[t]{x}=\frac{\log_ax}t\,,$

které bylo možné přechozím vzorcem převést znovu na sčítání a odčítání.

V dobách, kdy neexistovaly kalkulačky, bylo samozřejmě jednodušší sčítat a odčítat reálná čísla než je násobit, dělit, umocňovat nebo odmocňovat. Proto vznikly také tzv. logaritmické tabulky, které takovýto převod umožnovaly.

Např. bylo potřeba bez použití moderní techniky pouze s logartimickými tabulkami vypočítat $1.487^{2.458}$ Co s tím?

Stačilo použít uvedené vzorce:

$x=1.487^{2.458}\nl \log x=2.458\log 1.487\nl \log\log x=\log 2.458 + \log\log 1.487.$

Na pravé straně je již součet. Ten se pomocí tabulek jednoduše určil a pomocí nich se opačným postupem dohledala hodnota neznámé $x$ .

Výpočty nebyly samozřejmě přesné, vzhledem k tomu, že logaritmus je tzv. transcendentní funkce. Jednalo se o výpočty přibližné, což v té době stačilo.

jelena · 11. 03. 2010 16:47

Děkuji za působivé výklady :-)

Když jsem včera při tradičním úklidu objevila tento nedořešený dotaz, tak jsem chvilku uvažovala, zda vzhledem k profesním zájmům se mám rozpovídat o logaritmických škalach při znazornění rovnice Arrheniuse a o praktickém užití pravidla Van´t Hoffa.

Nebo o tom, co si máme představit, když firma Jachym a Jonatan slibuje přípravky s pH 5,5 a k čemu že to je neutrální.

Ale nějak nebyla jsem přesvědčena, zda mé polopatické vypravění může nahradit knižní texty nebo jiné odborné zdroje a motivační příklady od vyučujících nebo výklad od odborně zdatnějších kolegů, děkuji.

Pro Pavla: zde jsem měla dotazy,co s tématem souvisí, děkuji za případnou reakci a zdravím :-)

----
u nás tak pěkně sněží, témeř tak.

gsdv · 13. 03. 2010 12:22

↑ Pavel:
To jsem potřebovala vysvětlit k čemu vlastně ty logaritmy jsou, něco podobnýho nám říkal i učitel ale nijak dál to nerozvedl. Hned se mě to bude líp učit s vědomím že to k něčemu bude :)

oxfort- · 04. 04. 2010 10:49

Ahoj potřeboval bych nutně pomoci s matematickými příklady... našel by se tu někdo? děkuju moc

jelena · 04. 04. 2010 11:01 — Editoval jelena (04. 04. 2010 11:51)

↑ oxfort-:

Zdravím,

"pomoc s matematickými příklady" - to zde není nic neobvyklého. Ovšem to by bylo potřeba si založit vlastní téma, do kterého nějaký "příklad" (úlohu) umístit a určitě někdo z hodných kolegů pomůže.

Já asi ne, neboť mám v plánu "пешком на работу...ooch-ooch", kolegům přeji hezké počítání.

Téma ponecham označeno jako "vyřešené". Děkuji.

OT: original seznam originalů

oxfort- · 04. 04. 2010 11:02

děkuju moc jdu na to :)

Matematické Fórum

#1 09. 03. 2010 13:51

logaritmy

#2 09. 03. 2010 14:16

Re: logaritmy

#3 09. 03. 2010 14:16

Re: logaritmy

#4 10. 03. 2010 13:13

Re: logaritmy

#5 10. 03. 2010 13:20 — Editoval musixx (10. 03. 2010 13:23)

Re: logaritmy

#6 10. 03. 2010 13:26 — Editoval Cheop (10. 03. 2010 13:34)

Re: logaritmy

#7 10. 03. 2010 15:56

Re: logaritmy

#8 10. 03. 2010 23:32

Re: logaritmy

gsdv napsal(a):

#9 10. 03. 2010 23:38

Re: logaritmy

#10 11. 03. 2010 10:17

Re: logaritmy

#11 11. 03. 2010 10:47

Re: logaritmy

#12 11. 03. 2010 16:47

Re: logaritmy

#13 13. 03. 2010 12:22

Re: logaritmy

#14 04. 04. 2010 10:49

Re: logaritmy

#15 04. 04. 2010 11:01 — Editoval jelena (04. 04. 2010 11:51)

Re: logaritmy

#16 04. 04. 2010 11:02

Re: logaritmy

Zápatí