Matematické Fórum

Marek FN · 12. 03. 2010 12:45

Dobrý den, ve více jak 40ti letech jsem se dal do přípravy na přijímačky na VŠ. Konečně zvládám úpravy výrazů s jednou proměnnou, ale teď jsem narazil na tento příklad $[\frac a{b^2+ab}-\frac 2{a+b}+\frac b{a^2+ab}]/[\frac b a -2+\frac a b]$ a jsem opět v koncích. Poradí někdo nějaké zásady a jak na to?

musixx · 12. 03. 2010 12:50 — Editoval musixx (12. 03. 2010 12:57)

Je to pořád stejné, žádná extra pravidla: převody na společné jmenovatele, vytýkat, co to jen jde, používat známé vzorce typu $(a+b)^2$ , $a^2-b^2$ , atd.

EDIT:
$[\frac a{b^2+ab}-\frac 2{a+b}+\frac b{a^2+ab}]/[\frac b a -2+\frac a b]=$
$\frac{\frac a{b(a+b)}-\frac2{a+b}+\frac b{a(a+b)}}{\frac ba-2+\frac ab}=\frac{\frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a+b)}}{\frac{b^2-2ab+a^2}{ab}}=\frac{\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}}{\frac{(b-a)^2}{ab}}=\frac1{a+b}$

Marek FN · 12. 03. 2010 12:55

↑ musixx:A v tomto případě je společný jmenovatel 1. závorky a+b?

99 · 12. 03. 2010 12:56 — Editoval 99 (12. 03. 2010 13:06)

$[\frac a{b^2+ab}-\frac 2{a+b}+\frac b{a^2+ab}]/[\frac b a -2+\frac a b]$ b =
$[\frac a{b*(a+b)}-\frac 2{a+b}+\frac b{a*(a+b)}] * [1/(\frac b a -2+\frac a b)]$ =
ted se vykrátí celá pravá strana a na levé zbyde jen (strany jsou oděleny tím [levá]*[pravá]) => 1/(b+a -a-b +a+b) = 1/(a+b)

99 · 12. 03. 2010 13:00

$[\frac a{b^2+ab}-\frac 2{a+b}+\frac b{a^2+ab}]$ společný jmenovatel je = ab * (a+b)

Marek FN · 12. 03. 2010 13:05

Už asi chápu, zkusím si to dopočítat sám a pak si porovnám výsledek, za který tímto děkuji.

Rumburak

Lze postupovat například takto (velmi podrobně):

$[\frac a{b^2+ab}-\frac 2{a+b}+\frac b{a^2+ab}]/[\frac b a -2+\frac a b] =[\frac a{b(b+a)}-\frac 2{a+b}+\frac b{a(a+b)}]/[\frac b a -2+\frac a b] = [\frac {a^2}{ab(b+a)}-\frac {2ab}{ab(a+b)}+\frac {b^2}{ab(a+b)}]/[\frac {b^2} {ab} -\frac {2ab}{ab}+\frac {a^2}{ab}] =$
$=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a+b)}/\,\frac{b^2-2ab+a^2}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}/\,\frac{(a-b)^2}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\,\cdot\,\frac{ab}{(a-b)^2}=\frac{1}{a+b}$ .

EDIT. Hlavní kroky úprav již vysvětleny v ostatních příspěvcích.

Marek FN

A jak je možné, že $b^2-2ab+a^2 = [a-b]^2$ ? Já mám $[b-a]^2$

Rumburak · 12. 03. 2010 14:00

↑ Marek FN:
Platí
$-x = (-1)x$ ,
$(-1)^2 = (-1)(-1) = -(-1) = 1$ ,
$(-x)^2 = [(-1)x]^2 = (-1)^2 x^2 = 1x^2 = x^2$ ,
$-(b-a) = (-1)(b-a) = (-1)b \,-\,(-1)a = -b+a = a-b$ .
Spojením posledních dvou výsledků máme $(a - b)^2 = (b-a)^2$ .

musixx · 12. 03. 2010 14:06 — Editoval musixx (12. 03. 2010 14:09)

↑ Rumburak: Ano. Moc hezky zdůvodněno zavedení unárního mínus, resp. opačného prvku, ať nepoužívám nadbytečné pojmy, a z toho plynoucí důsledky. Jenže pro po 40 letech s matematikou opět začínajícího tazatele, hmmm.

Možná bych se omezil jen na jemu jistě známé $x^2=(-x)^2$ , kde $b-a=-(a-b)$ (roli x tady hraje třeba ono a-b). A hned upozorním na to, že to platí pro všechny sudé mocniny, tedy i $(a-b)^4=(b-a)^4$ , zatímco to obecně neplatí pro mocniny liché (umocnění na třetí, pátou, ale i první atd.).

Rumburak · 12. 03. 2010 14:20

↑ musixx: Tvé zdůvodnění je určitě jednodušší a přehlednější - pro SŠ asi i vhodnější. Souhlasím.
Mně na matematice nejvíce fascinují právě ony rozhodující drobné detaily a občas prostě nemohu odolat ... :-)

musixx · 12. 03. 2010 14:47

↑ Rumburak: Jen mezi námi, ryze teoretická otázka, na kterou vím, že znáš odpověď, a tak ji ani zde nečekám a nechme to jako zamyšlení pro ostatní. :-) Jde o zdůvodnění té první rovnosti, ze které jsi vyšel, a která sama o sobě vlastně potřebuje dokázat.

Jak je to v (unitárním) okruhu s neutrálním prvkem e vzhledem k násobení se vztahem mezi opačným prvkem (vzhledem ke sčítání) $-x$ a prvkem $(-e)\cdot x$ pro libovolný prvek $x$ tohoto okruhu?

Rumburak

↑ musixx: Kdykoliv na tuto otázku narazím, musím se nad ní chvíli zamyslet. Zkusím to stručně takto:

1. Je-li libovolně dán (v rámci studované struktury) prvek $a$ , pak rovnice $a + x = 0$ (x je neznámá) má kořen (jak praví jeden z axiomů grupy
jejímž neutrálním prvkem je 0), a to kořen jediný (jak se potom snadno dokáže). Tento kořen (závislý na volbě prvku $a$ ) značíme $-a$ .
(Předpokládáme, že grupa je komutativní, jinak by onen axiom byl o něco složitější, než jak jsem uvedl.)

2. Rozšíříme-li grupu na okruh tím, že přidáme násobení s jednotkovým prvkem 1, pak identicky platí $1a = a$ , $0a = 0$
(nad touto částí teorie bych se potřeboval zamyslet ještě o chloupek déle, abych si uvědomil, zda druhá identita je axiom nebo věta).
EDIT . Druhá identita je věta - z dalších axiomů okruhu se ukáže, že $0a$ je neutrálním prvkem vzhledem ke scítání, který je v grupě ale
právě jeden.
EDIT 2. Nebo ještě lépe: 0a = 0 + 0a = (-a) + 1a + 0a = (-a) + (1 + 0)a = (-a) + 1a = (-a) + a = 0 .

3. Ukáže se (zkouškou), že $(-1)a$ je (vedle prvku $-a$ ) rovněž kořenem rovnice $a + x = 0$ :
$a + (-1)a = 1a + (-1)a = [1 + (-1)]a = 0a = 0$ .

Z jednoznačnosti kořene této rovnice pak plyne $(-1)a = -a$ .

musixx · 12. 03. 2010 16:33 — Editoval musixx (12. 03. 2010 16:35)

↑ Rumburak: Jistěže. Pro mě netradičně jsi pojal fakt, že existuje-li (v grupě) opačný prvek, pak je jednoznačný, do požadavku jednoznačného řešení jakési rovnice (byť je to totéž).

A pokud jde o 0a=0, tak to musí být pouze tvrzení, protože definitoricky jsou operace plus a krát svázány pouze distibutivními zákony. Stačí si levou nulu představit třeba jako a-a, použít právě ty distributivní zákony a máme tak pravou nulu.

EDIT: ↑ Marek FN: Od příspěvku #9 to ani moc nevnímej, nechali jsme se unést trochu jinou diskuzí...

Rumburak

↑ musixx:
Ano, díky, mezitím jsem na to přišel a doplnil jsem to tam (s jednou další poznámkou) časově zároveň s Tvým předchozím příspěvkem.

jelena · 12. 03. 2010 20:40

↑ musixx:, ↑ 99:, ↑ Rumburak:

"právě ony rozhodující drobné detaily a občas prostě nemohu odolat ..." (c)

jen by se hodilo poznamenat, že řešení úlohy na úpravy výrazů musí obsahovat také podmínky, za kterých byla úprava prováděna a za kterých platí výsledek úprav. Je možné, že tato poznámka je obsažena v tvrzení o "levé a pravé nule", ale příspěvek 14 již kolegovi ↑ Markovi FN: nebyl doporučován ke čtení.

Zdravím vás :-)

--------------------
"10 začátečníků to má za 12 dní, tedy jeden začátečník to má za 120 dní, tedy..." (c)

musixx · 12. 03. 2010 22:10

↑ jelena: Zdravím Jelenu a děkuji za doplnění poznámky o podmínkách, za kterých úprava platí. To je jistě důležitá součást řešení. Zde se podmínky budou skládat jen z toho, že v žádném jmenovateli se nesmí objevit nula.

Marek FN · 13. 03. 2010 18:51

Vše jsem pochopil a děkuji. A měl bych ještě dotaz: $\frac{1-x}{1-x+x^2}+\frac{1+x}{1+x+x^2}$ Jaký bude společný jmenovatel?

marnes · 13. 03. 2010 18:59 — Editoval marnes (13. 03. 2010 19:00)

↑ Marek FN:Součin jednotlivých jmenovatelů. Ani jeden rozložit nejde

Marek FN · 13. 03. 2010 19:12

Díky, jdu to zkusit.

Ivana · 13. 03. 2010 19:40

↑ Marek FN:... pro kontrolu :

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

marnes · 13. 03. 2010 19:41 — Editoval marnes (13. 03. 2010 19:42)

↑ Marek FN: $\frac{1+x+x^2-x-x^2-x^3+1-x+x^2+x-x^2+x^3}{(1-x+x^2)(1+x+x^2)}=$

$=\frac{2}{(1-x+x^2)(1+x+x^2)}$ , takže OK

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2010 12:45

úprava výrazu se dvěma proměnnými

#2 12. 03. 2010 12:50 — Editoval musixx (12. 03. 2010 12:57)

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#3 12. 03. 2010 12:55

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#4 12. 03. 2010 12:56 — Editoval 99 (12. 03. 2010 13:06)

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#5 12. 03. 2010 13:00

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#6 12. 03. 2010 13:05

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#7 12. 03. 2010 13:08 — Editoval Rumburak (12. 03. 2010 13:16)

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#8 12. 03. 2010 13:24 — Editoval Marek FN (12. 03. 2010 13:26)

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#9 12. 03. 2010 14:00

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#10 12. 03. 2010 14:06 — Editoval musixx (12. 03. 2010 14:09)

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#11 12. 03. 2010 14:20

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#12 12. 03. 2010 14:47

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#13 12. 03. 2010 15:35 — Editoval Rumburak (15. 03. 2010 10:01)

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#14 12. 03. 2010 16:33 — Editoval musixx (12. 03. 2010 16:35)

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#15 12. 03. 2010 16:39 — Editoval Rumburak (12. 03. 2010 16:39)

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#16 12. 03. 2010 20:40

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#17 12. 03. 2010 22:10

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#18 13. 03. 2010 18:51

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#19 13. 03. 2010 18:59 — Editoval marnes (13. 03. 2010 19:00)

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#20 13. 03. 2010 19:12

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#21 13. 03. 2010 19:40

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

#22 13. 03. 2010 19:41 — Editoval marnes (13. 03. 2010 19:42)

Re: úprava výrazu se dvěma proměnnými

Zápatí