Matematické Fórum

Sergej · 01. 03. 2008 18:13 — Editoval Sergej (01. 03. 2008 20:14)

Právě jsem se snad hodinu mořil s goniometrickou rovnicí $\sin x + \sin 3x = \sin 2x + \sin 4x$ a nakonec jsem dospěl k ekvivalentní rovnici v součinovém tvaru $\sin x \cdot\cos x\cdot(4\cos^2 x - 2 \cos x - 1) = 0$ . Po substituci $\cos x = a$ jsou výsledkem kvadratické rovnice $a_1=\frac {1+sqrt 5} {4},a_2=\frac {1-sqrt 5} {4}$ a teď by mě zajímalo jak rovnici $\cos x = \frac {1-sqrt 5} {4}$ vyřešit bez použítí kalkulačky tak abych dostal $\frac {\pi} {5}$ respektive $\frac {3} {5}\pi$ pro druhý kořen?

Marian · 01. 03. 2008 19:56

Ta ronice je zadana nejak divne, protoze na leve a prave strane se vyskytuje tentyz clen, totiz sin(2x). To sice nevadi, ale neni to zvykem. O radek nize je pak formalni chyba, chybi argument u prveho kosinu.

Navic plati pouze cos(3/5*Pi)=(1-sqrt(5))/4. Pro cos(Pi/5) plati trosku jina formulka. A navic budes pocitat nejen rovnici (mas-li predchozi spravne), kterou jsi uvedl ve tvem prispevku, kterou nemuzes vyresit, ale take rovnici, kde bude pred odmocninou z cisla 5 znamenko +.

Ale primarne me zajima tve zadani. Zkontroluj to vse.

Sergej · 01. 03. 2008 20:20

↑ Marian:
Ano, máš pravdu napsal jsem špatně zadání a zapoměl jsem na argument. Teď už to je snad všechno správně. Nicméně by mě stále zajímalo jak v rovnice cos x = (1-sqrt(5))/4 přijdu na x = 3/5*Pi?

ttopi · 01. 03. 2008 22:20 — Editoval ttopi (01. 03. 2008 22:24)

↑ Sergej:
No... Spočítáš si na kalkulačce kolik je $\frac{1-\sqrt5}{4}$ , což je -0,309016994... a pak zmáčkneš funkci $cos^{-1}$ a kalkulačka ti vyhodí, že je to pro úhel 108°.

Bez kalkulačky bych to asi těžko vyřešil, jedině (což by ale bylo dost nepřesné) vynést si výsledek $\frac{1-\sqrt5}{4}$ na jednotkové kružnici a pak úhloměrem naměřit úhel :-)

jelena · 01. 03. 2008 22:26

$\sin x + \sin 3x = \sin 2x + \sin 4x$

$\sin3x - \sin 2x = \sin 4x - \sin x$ zkus upravit levou a pravou stranu podle vzorcu pro rozdil sin, pomerne rychle dojdes k cos (5x/2) pred zavorkou , ktere se musi rovnat 0. Jelikoz je to splneno pro pi/2, tak se dostanes na x = pi/5 a dalsi moznost je 3pi/2, tam dojdes k 3pi/5. OK? Zkus to napsat tady - bohuzel ted nemam cas na podrobnejsi odpoved.

vzorce urcite mas, jen pro jistotu :-)

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~robova/s … unkce.html

Sergej · 02. 03. 2008 09:29 — Editoval Sergej (02. 03. 2008 09:32)

↑ jelena:
Máš pravdu Jeleno, děkuji za odpověď, taková úprava rovnice před použitím vzorečků mě nenapadla. Našel jsem tuhle bezva rigorózní práci, kde je tato rovnice vyřešena is.muni.cz/th/248680/prif_r/Rigorozni_z … funkce.pdf na straně 146.

Matematické Fórum

#1 01. 03. 2008 18:13 — Editoval Sergej (01. 03. 2008 20:14)

Goniometrická rovnice

#2 01. 03. 2008 19:56

Re: Goniometrická rovnice

#3 01. 03. 2008 20:20

Re: Goniometrická rovnice

#4 01. 03. 2008 22:20 — Editoval ttopi (01. 03. 2008 22:24)

Re: Goniometrická rovnice

#5 01. 03. 2008 22:26

Re: Goniometrická rovnice

#6 02. 03. 2008 09:29 — Editoval Sergej (02. 03. 2008 09:32)

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí