Matematické Fórum

Hukp · 16. 03. 2010 16:21

Zjistěte z Cauchy-Riemannových podmínek, na které množině je funkce f(z)= e na jz +2/z-z holomorfní.Řekl by my někdo prosím jak to řešit?

Hukp · 16. 03. 2010 16:23

Jo a nad tím posledním z je ještě čárka ale neumí ji tam vepsat.

Stýv · 16. 03. 2010 16:37

tobě přijde zápis tý funkce srozumitelnej?

Hukp · 16. 03. 2010 17:32

Já myslím že pokud si ho přepíšeš na papír tak ti srozumyelnej dojde.Jen si to musíš napsat s tou mocninou a zlomkem pak to uvidíš.

kaja(z_hajovny) · 16. 03. 2010 22:16

$e^{jz}+\frac 2z-z$ ?

Hukp · 17. 03. 2010 09:15

Hukp · 17. 03. 2010 09:17

to je přesné zadání.

Hukp · 17. 03. 2010 10:10

prosím pomozte mi někdo.

Stýv · 17. 03. 2010 12:11

uvažuj fci f jako fci z R^2 do R^2 (zvlášť reálná a imaginární část), najdi její derivaci (matice 2x2) a ověř C-R podmínky

Hukp · 17. 03. 2010 12:57

mohl bych poprosit o postup,moc tomu nerozumím.děkuji.

Hukp · 23. 03. 2010 21:57

prosím pomozte.

plisna · 23. 03. 2010 22:35

↑ Hukp: funkce $f(z) = f(x + \mathrm{i}y) = u(x,y) + \mathrm{i} \cdot v(x,y)$ je holomorfni v bode $z$ , jestlize v tomto bode splnuje CR podminky $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ a $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ .

v nasem pripade: $f(z) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}z} + \frac{2}{z - \bar{z}}$ , tedy $f(x + \mathrm{i}y) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(x + \mathrm{i}y)} + \frac{2}{x+\mathrm{i}y - (x - \mathrm{i}y)} = \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} \mathrm{e}^{-y} + \frac{2}{2\mathrm{i}y}=\mathrm{e}^{- y} (\cos x + \mathrm{i} \sin x) - \frac{\mathrm{i}}{y} = \underbrace{\mathrm{e}^{-y}\cos x}_{u(x,y)} + \mathrm{i} \underbrace{ $ \mathrm{e}^{-y} \sin x - \frac{1}{y} $}_{v(x,y)}$ .

nyni jiz zbyva najit dvojice $(x,y)$ splnujici Cauchyovy-Riemannovy podminky $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ a $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

Hukp · 24. 03. 2010 10:22

prosím mohl by my ještě někdo poradit jak mám správně odvodit a upravit ty podmínky?

jelena · 24. 03. 2010 13:04

↑ Hukp:

Zdravím,

v úpravě od kolegy ↑ plisna: jsou vyznačeny funkce u(x, y), v(x, y). Je potřeba najit parciální derivace těchto funkcí (to se pak použije pro nalezení dvojic x, y). Podařilo se najit parciální derivace?

Odkaz

Rumburak

Teoretická poznámka:

K holomorfnosti funkce f je vedle C-R podmínek obecně též potřeba, aby funkce u, v (viz ↑ plisna:) měly totální diferenciál.
K existenci totálního diferenciálu funkcí u, v ovšem stačí, aby parciální derivace 1. řádu těchto funkcí byly spojité, tak jako tomu bude i v naší úloze
s ohledem na definiční obor funkce f.

S C-R podmínkami to ale na první pohled vidím černě - avšak nechci předbíhat...

Hukp · 24. 03. 2010 16:54

↑ jelena:Zdravím já si právě nejsem vůbec jistý jak je mám zderivovat.

jelena · 24. 03. 2010 17:26

↑ Hukp:

jak zderivovat, to bych věděla, ale vychází mi, že 1. podmínka nebude splněna pro žádnou dvojici. Má někdo z kolegů jiný názor? Děkuji.

Hukp · 24. 03. 2010 17:32

↑ jelena:plně souhlasím,myslel jsem si to již při určení U(xy) a v(x,y),jenže já bych si to chtěl dokázat tím zderivováním,Můžu poprosito postup toho zderivování?

Hukp · 24. 03. 2010 17:33

nepochopil jsem totiž derivování podle x a podle y.

jelena · 24. 03. 2010 17:44

↑ Hukp: parciální derivování vysvětlovala kolegyňka gladiator01 i více kolegů (děkuji) a vypadalo, že jsi pochopil.

Tak se pokus podle doporučení kolegů + materiály.

Hukp · 24. 03. 2010 19:05

jj děkuju mockrát za připomenutí,už to mám.moc jste mi pomohli.

Rumburak

↑ jelena:
Srdečně zdravím, je tomu vskutku tak. Při podobných úlohách je šikovné si uvědomit, že C-R podmínky nejsou splněny
ani pro tak "jednoduchou" funkci, jakou je $g(z) = \bar{z}$ - a ejhle, tato funkce je ve složené funkci f vyšetřovanané
v tomto vlákně obsažena!

jelena · 25. 03. 2010 13:13

↑ Rumburak:

Také hezký pozdrav a děkuji :-)

Moje poznatky z komplexní analýzy nepřesahují tzn. "úvodní teoretické předpoklady" pro elektrotechniku, automatizaci apod. hezké zbytečnosti. Ale včera jsem narazila na tento dotaz zrovna když jsem oprašovala vysavačem Rektoryse (tedy za příznivých podmínek), navíc byla vytvořena dobrá základna od kolegy ↑ plisna: (kolegovi děkuji), jinak bych si netroufla.

Děkuji.

Phill · 28. 03. 2010 11:05

Prosím o kontrolu:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \mathrm{e}^{- y} \cos x=\mathrm{-e}^{- y} \sin x$
$\frac{\partial v}{\partial y} = \mathrm{e}^{- y} \sin x-\frac{1}{y}=\mathrm{-e}^{-y} \sin x+\frac{1}{y^2}$
Stačí do výsledku napsat, dle zadání příkladu, že $\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}$ , není splněna 1. C-R podmínka a funkce není holomorfní ?
Jsou ty derivace správně ? Děkuji.

jelena · 28. 03. 2010 18:59

↑ Phill:

Zdravím,

v zápisu ("uprostřed" v rámečku) je samotná funkce u (nebo v - v druhém zápisu), chybí označení, že je to parciální derivace: $\frac{\partial u}{\partial x} =\boxed{ $\mathrm{e}^{- y} \cos x$}=\mathrm{-e}^{- y} \sin x$ . Jinak je to v pořádku.

Matematické Fórum

#1 16. 03. 2010 16:21

Cauchy-Riemannovy podmínky.

#2 16. 03. 2010 16:23

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#3 16. 03. 2010 16:37

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#4 16. 03. 2010 17:32

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#5 16. 03. 2010 22:16

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#6 17. 03. 2010 09:15

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#7 17. 03. 2010 09:17

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#8 17. 03. 2010 10:10

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#9 17. 03. 2010 12:11

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#10 17. 03. 2010 12:57

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#11 23. 03. 2010 21:57

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#12 23. 03. 2010 22:35

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#13 24. 03. 2010 10:22

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#14 24. 03. 2010 13:04

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#15 24. 03. 2010 13:26 — Editoval Rumburak (24. 03. 2010 13:35)

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#16 24. 03. 2010 16:54

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#17 24. 03. 2010 17:26

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#18 24. 03. 2010 17:32

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#19 24. 03. 2010 17:33

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#20 24. 03. 2010 17:44

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#21 24. 03. 2010 19:05

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#22 25. 03. 2010 09:58 — Editoval Rumburak (25. 03. 2010 10:24)

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#23 25. 03. 2010 13:13

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#24 28. 03. 2010 11:05

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

#25 28. 03. 2010 18:59

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky.

Zápatí