Matematické Fórum

MirekSafar · 18. 03. 2010 17:20

Dobrý den Vážení kolegové a kolegyně, i když se moc za vašeho kolegu nepovažuji a spíše k vám vzhlížím, rád bych vám poprosil o pomoc. Snad už naposled. Dostal se mi do rukou opět úkol , se kterým si nevím rady. Matematika opravdu není mým soudkem čaje. Poku by se našel kdokoliv kdo má alespoň chvilku čas a mohl by mi pomoci s řešením kteréhokoliv z následujících příkladů, byl bych moc vděčný.
Zadané příklady v PDF

jelena · 18. 03. 2010 18:17

↑ MirekSafar:

Vážený kolego, srdečný pozdrav.

Při při prvním a zároveň posledním setkání jsme neměli ani to potěšení se dozvědět, jak účinná a užitečná byla naše předchozí pomoc.

Tak bych navrhovala tuto situaci trochu napravit.

Vy, kolego, vezmete zadání po zadání a učinite pokus pomocí materiálů od vaších vyučujících a dalších materiálů, ne které se případně odkažete, se dostat alespoň k návrhu řešení. Věřím, že kolegiální pomoc a doporučení od místních kolegů se jistě dostaví a snad i od někoho z vašich vyučujícíh.

Tož si udělejete čas a zatím se mějte hezky.

MirekSafar · 21. 03. 2010 21:13

Omlouvám se ještě jednou, že jsem nepoděkoval za předcházející pomoc. Sedl jsem nad to, a opravdu, při troše listování se dalo k výsledkům dopočítat. Pouze s jedním příkladem si nevím rady, a proto bych vás chtěl poprosit o radu popřípadě usměrnit jak na to.

Příklad č.5 jsem špatně zadal a proto jej sem znovu přepíšu :

lim(x->0) (sin(5x^2))/x^4

první co jsem zkoušel, dosadil jsem za x NULU, což mi za výsledek dalo 0/0 . Ze střední si pamatuji, že se na podobné případy dalo použít l'Hopitalovo pravidlo, proto jsem zderivoval čitatele a jmenovatele a po menších úpravách jsem došel k tomuto:

lim(x->0) 5cos(5x^2) / 2x^2 , což mi dá, že limita jmenovatele je opět NULA...

nevím už jak na to, mohl by mi někdo pomoc s tímto pohnout nebo mě nakopnout ,kterým směrem bych měl pokračovat ?

nebo snad po l'Hopitalovi si muze pouzit 5/0 -> nekonecno ?

halogan · 21. 03. 2010 21:29

↑ MirekSafar:

K L'Hospitalovi mám celkem vyhraněný názor, ale pokud jej chceš používat (a víš, kdy můžeš), tak klidně. Jen pozor, výraz "A/0" není vždy nekonečno. Dost záleží na tom, "jaká" nula to je. Jaký výraz tedy limitíš? Podíváme se na to.

---

Pokud bys nechtěl derivovat, tak pro tebe mám dvě informace:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

2) Věta o limitě složené funkce. Brali jste?

MirekSafar · 21. 03. 2010 21:53

↑ halogan:

ahaaa :) to mě nenapadlo ...

jen jsem chtěl, nemá náhodou platit toto : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ??

halogan · 21. 03. 2010 22:01

↑ MirekSafar:

Samozřejmě, neděle večer... :-) Omlouvám se.

No, tak to jsme si ujednali, co byste udělal s tou složenou funkcí teda?

(vím, že jste to již skoro spočítal jinak, ale ne vždy můžete jen tak derivovat)

MirekSafar · 22. 03. 2010 07:07

↑ halogan:

no pořešil jsem to takhle :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x^2)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x^2)}{x^4} . \frac{5x^2}{5x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x^2)}{5x^2} . \frac{5x^2}{x^4} = \lim_{x \to 0} 1 . \frac{5}{x^2} = oo$

mohlo by to být takto ? pokud bych to upravil tak, by limitou bylo nekonečno a x by se nesmělo rovnat 0.

PS: omlouvám se za ty otazníky v hranatých závorkách, nevím ak se tam objevili , píšu prvně pomocí TeXu na fóru

jelena · 22. 03. 2010 08:24

↑ MirekSafar:

Zdravím,

je to v pořádku.

V tomto případě (dělíme "kladnou nulou", 2. mocnina v jmenovateli) bych už nerozepisovala, že limita zleva = limita zprava a tedy oboustranná, existuje - ale v tématech, kde působí místní autority ↑ halogan: jsem velmi opatrná ve vyjadřování (tak to pro jistotu komentuji).

V případě vyšetření limit není nutné komentovat, že x se nesmí rovnat 0 - to se využije při vyšetření průběhu funkce a bodů nespojitosti - graf bude vypadat tak.

TeX - otáznik se vytvoří na místě mezery, stačí mezeru "odmazat", pro nekonečno napíšeme \infty $\infty$ a násobení zapisujeme jako \cdot Jinak zápis je pěkný a přehledný, děkuji.

Hezký den :-)

halogan · 22. 03. 2010 10:05

Děkuji kolegyni ↑ jelena: za vysvětlení, jen doplním svůj komentář.

↑ MirekSafar:

To, že se x nesmí rovnat nule, by mělo být jasné už při rozšiřování. Když rozšíříš výrazem $\frac{5x^2}{5x^2}$ , tak bys v případě nulové neznámé rozšiřoval nedefinovaným výrazem, ale ty rozšiřuješ jedničkou.

Obecně je tedy dobré vědět, jaká je definice limity. Ty pro okolí limity hledáš prstencové okolí (v tomto případě) nuly. Funkční hodnota v nule tě tedy vlastně nezajímá (zajímala by tě jen tehdy, kdyby tam funkce byla spojitá).

Ještě k té složené funkci. Nevím, jak moc na vás apelují, co se týče odůvodnění složených funkcí, protože ne vždy můžeme tuto větu použít.

---

Poslední věc:

Pokud vyhazuješ nějakou známou limitu ze součinu, musíš to dělat přes aritmetiku, není možné částečně limitit. Proto tedy neplatí:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} = \lim_{x \to 0} 1 \cdot \frac{1}{x}$ , ale spíše $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac 1x$ atd. Šlo mi tady o tu jedničku.

Taky je často třeba na konci počítání ospravedlnit použítí aritmetiky. Ale jak říkám, nevím, jak moc na vás vyžadují takové detaily.

MirekSafar · 22. 03. 2010 16:56

Děkuji všem :) Už je mi to celé jasné :) to s tou jedničkou jsem tak udělal,jen jsme to špatně zapsal, omlouvám se. Ale děkuji moc za pomoc a za sebe mohu říct, že jsem to pochopil a mohu považovat toto vlákno za uzavřené. Ještě jednou díky všem :)

Stýv · 22. 03. 2010 17:27

↑ halogan: řekl bych, že tohle není zrovna nejšťastnější ukázka arimetiky limit, když $\lim_{x \to 0} \frac 1x$ neexistuje

halogan · 22. 03. 2010 17:37

↑ Stýv:

No to je schválně, protože dost lidí bere aritmetiku jako samozřejmost a moc ji neřeší. Takhle to člověka trkne, jde do definice, zkusí jednostranné a už aritmetika funguje.

Stýv · 22. 03. 2010 17:42

tak to potom jo. já jenom aby si někdo neřekl: "ha, limity na pravý straně neexistujou, takže ani ta limita nalevo neexistuje"

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2010 17:20

Limita posloupnosti + limita funkce

#2 18. 03. 2010 18:17

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#3 21. 03. 2010 21:13

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#4 21. 03. 2010 21:29

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#5 21. 03. 2010 21:53

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#6 21. 03. 2010 22:01

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#7 22. 03. 2010 07:07

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#8 22. 03. 2010 08:24

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#9 22. 03. 2010 10:05

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#10 22. 03. 2010 16:56

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#11 22. 03. 2010 17:27

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#12 22. 03. 2010 17:37

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

#13 22. 03. 2010 17:42

Re: Limita posloupnosti + limita funkce

Zápatí