Matematické Fórum

Hukp · 25. 03. 2010 11:49

Hukp · 25. 03. 2010 11:59

zkontrolujte my to někdo prosím popřípadě opravte chyby.děkuji mockrát.

jelena · 25. 03. 2010 13:05

↑ Hukp:

Zdravím, asi by to chtělo upřesnit, co je oblast Г. Děkuji.

Hukp · 25. 03. 2010 13:31

tohle je začátek příkladu pro upřesnění.

jelena · 25. 03. 2010 14:06 — Editoval jelena (25. 03. 2010 14:25)

↑ Hukp:

kolega Rumburak bude určitě tak hodný, že také zkontroluje, děkuji. Ale můj názor je, že takto máš pouze přímku na ose y, chybí ještě oblouk. Je to tak?

EDIT: bylo rozpracováno zde, děkuji autorům.

Rumburak

Máme spočítat
$I =\int_{\Gamma}\bar{z}|z|\,\text{d}z= \int_{\Gamma} (x-iy)\sqrt{x^2+y^2}\,\text{d}(x+iy)= \int_{\Gamma} (x-iy)\sqrt{x^2+y^2}\,(\text{d}x+i\text{d}y)= \int_{\Gamma} (x-iy)\sqrt{x^2+y^2}\text{d}x\,+\,\int_{\Gamma} (x-iy)\sqrt{x^2+y^2}\,i\text{d}y$ ,
každý z obou integrálů ještě "roztrhneme" podle částí té křivky :
$\int_{\Gamma} = \int_{\Gamma_1} + \int_{\Gamma_2}$ , takže celkem máme vypočítat integrály
$A_1\,:=\int_{\Gamma_1} (x-iy)\sqrt{x^2+y^2}\text{d}x$ , $B_1\,:=\int_{\Gamma_1} (x-iy)\sqrt{x^2+y^2}\,i\text{d}y$ ,
$A_2\,:=\int_{\Gamma_2} (x-iy)\sqrt{x^2+y^2}\text{d}x$ , $B_2\,:=\int_{\Gamma_2} (x-iy)\sqrt{x^2+y^2}\,i\text{d}y$ .

Křivky parametrizujme následovně:
$\Gamma_1\,\,:$ $x = 0,\,\,y=-t,\,\,t\in[-2,2]$ , tedy $\text{d}x= 0,\,\, \,\text{d}y= -\text{d}t$ ,
$\Gamma_2\,\,:$ $x = 2\,\cos\,t,\,\,y=2\,\sin\,t,\,\,t\in[-\pi/2,\,\,\pi/2]$ , tedy $\text{d}x= -2\,\sin\,t\,\text{d}t, \,\,\,\text{d}y= 2\,\cos\,t\,\text{d}t$ (předpokládám, že jde o půlkružnici)

a integrály A_k, B_k dopočítáme odpovídajícími substitucemi. Pak bude I = A_1 + B_1 + A_2 + B_2.

EDIT. Kolegyni Jeleně ↑ jelena: děkuji za vyjádření důvěry :-). Ale také si myslím, že tam není mnoho co kontrolovat,
spíše uvést tazatele na správnou cestu, o což jsem se pokusil.

EDIT 2. Ještě jsem tam po sobě opravil pár překlepů.

EDIT 3. Vyšla mi chvilka, tak zkusím ještě trochu popolézt.
Zřejmě $A_1 = 0$ , neboť zde $\text{d}x =0$ .
$B_1\,=\int_{-2}^2 (0+it)\sqrt{0+t^2}\,(-i)\text{d}t = \int_{-2}^2 t \,|t|\,\text{d}t = 0$ (integruje se lichá funkce přes interval se středem 0).
$A_2\,=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (2\,\cos\,t\,-\,2i\,\sin\,t)\cdot 2 \cdot (-2\,\sin\,t)\,\text{d}t = -8\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\cos\,t\,\sin\,t-\,i\,\sin^2\,t) \,\text{d}t = 8i\int_{-\pi/2}^{\pi/2} sin^2\,t \,\text{d}t = 16i\int_{0}^{\pi/2} sin^2\,t \,\text{d}t = ...$ ,
$B_2\,=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (2\,\cos\,t\,-\,2i\,\sin\,t)\cdot 2i \cdot (2\,\cos\,t)\,\text{d}t = 8i\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\cos^2\,t\,-\,i\,\sin\,t\,\cos\,t) \,\text{d}t = 8i\int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos^2\,t \,\text{d}t = 16i\int_{0}^{\pi/2} \cos^2\,t \,\text{d}t =...$
a dopočítat to do konce už určitě zvládneš.

EDIT 4 . V posledním výpočtu se hned na začátku ztratil činitel $i$ , opraveno.

Hukp · 25. 03. 2010 16:47

Já jsem s toho už uplně v pasti.Totálně jsem přestal chápat a mozek mi utekl do Afgánistánu nechat se odstřelit.

jelena · 25. 03. 2010 17:48

↑ Rumburak: děkuji za dokonalost provedení :-)

↑ Hukp: nevím, jaké má plány kolega, ale já momentálně mám v plánu něco zcela jiného. Zkus třeba překopírovat jednotlivý díl výpočtu - od kterého místa není jasné?

U kolegů v odkazu a ve sbírce, co jsem odkazovala v jiném tématu, se pracovalo s exponenciálním tvarem komplexního čísla - možná zkusit si to představit tak i jinak - snad se to ujasní.

Rumburak

↑ Hukp:
Lze postupovat i způsobem méně elementárním, který je přehlednější a vede k cíli rychleji.
Je dobré znát obě možnosti.

Parametrizace křivek zapíšeme ve tvaru
$\Gamma_1\,\,:\,\, z=-it\,,\,\,\,\,t\in[-2,2]$ , tedy $\text{d}z = -i\,\text{d}t$ ,
$\Gamma_2\,\,: \,\,z= 2\,\text{e}^{\,it}\,,\,\,\,t\in[-\pi/2,\,\,\pi/2]$ , tedy $\text{d}z= 2i\,\,\text{e}^{\,it}\,\text{d}t$ .

Potom

$\int_{\Gamma_1}\bar{z}|z|\,\text{d}z= \int_{-2}^2 (it)\sqrt{t^2}\,(-i)\text{d}t = \int_{-2}^2 t |t|\text{d}t = 0$ ,

$\int_{\Gamma_2}\bar{z}|z|\,\text{d}z= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \bar{2\,\text{e}^{\,it}}\cdot |2\,\text{e}^{\,it}|\cdot 2i\,\text{e}^{\,it}\,\text{d}t \,=\,\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\,\text{e}^{\,-it}\cdot 2\cdot 2i\,\text{e}^{\,it}\,\text{d}t \,=\,8i\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\text{d}t = 8\pi i$ .

Součet obou těchto integrálů dává

$\int_{\Gamma}\bar{z}|z|\,\text{d}z\,=\,8\pi i$ .

(Jen tak mimochodem: z nenulového výsledku a z Cauchyovy věty plyne, že integrovaná funkce není holomorfní.)

↑ jelena: Jak se nakonec ukázalo, můj předchozí výpočet bohužel nebyl dokonalý :-) .

jelena · 26. 03. 2010 10:11

↑ Rumburak:

Zdravím :-)

nedostala jsem pokyn "překontrolovat", tak jsem se nezaměřila na chybějící tečky nad "i".

vážený kolega Rumburak napsal(a):
Lze postupovat i způsobem méně elementárním, který je přehlednější a vede k cíli rychleji.

To je trochu sporné, co je méně elementární (zde v globální debate o "polovičním rámečku" upředňostňujeme exponenciální tvar komplexního čísla pro určité operace, což v tomto zadání je vidět). Nebo tato poznámka se vztahovala k nečemu jinému? Děkuji.

---
OT: strana a vlada ovšem nepožaduje, abych povídala o přednostech exponenciálních tvarů, ale abych našla, jak §82 odstavec (2)d je uplatněn v prováděcí vyhlášce (a já ještě ani nevím, o čem je ten paragraf, natož jaká je k tomu vyhláška) a navíc ze všech vyhlášek si připadám jak Burattino telecomandato.

Hezký den :-)

Rumburak · 26. 03. 2010 12:16

↑ jelena:
Také zdravím :-) Ta poznámka a následný alternativní výpočet byly míněny jako doplnění předchozího příspěvku (nestihl jsem napsat všechno
najednou). V nutnosti provést toto doplnění mne utvrdila i reakce tazatele, z níž mi bylo patrné, že první "příliš elementární" a proto nepřehledný
výpočet ho poněkud vyděsil. Jiného tazatele by možná vyděsil druhý způsob výpočtu, takže určitě je lepší, jsou-li zde oba.
Ty odkazy si prostuduji později, nyní (po nezáživné pracovní poradě) mně to přednostně táhne do jídelny.

jelena · 26. 03. 2010 15:24

↑ Rumburak: :-) dvojice vyděšených tazatelů je rozhodně lepší, než jen jeden vyděšený tazatel.

Pro vážené Moderátorstvo - nějak chabě se doplňuje vzorová řešení. Pokud řešení od kolegy Rumburaka si zasluhuje být doplněno do Vzorových (což si myslím, že ano - ale vy to posoudíte lépe). Mé povidání, které se nevztahuje k problému, prosím, laskavě smažte. Děkuji.

Asi za nějaký čas - až se vyjádří vyděšený autor dotazu (ve vzorových se nedá přidávat příspěvky).

Rumburak · 26. 03. 2010 15:51

↑ jelena:

Vážená kolegyně jelena napsal(a):
:-) dvojice vyděšených tazatelů je rozhodně lepší, než jen jeden vyděšený tazatel.

Vedeš minimálně 1:0 (na matematickém fóru by se obecně nulou dělit nemělo, ale v tomto vlákně se pohybujeme v komplexní analýze,
což nám poskytuje výjimku).

Přeji hezký weekend ! :-)

Phill · 28. 03. 2010 08:27

Jsem rád, že se někdo stejně "vyděšený" (neznám ho ale zřejmě se pokouší o stejný předmět) dotázal za mě, a chtěl bych tímto vřele poděkovat Rumburakovi i všem zůčastněným.

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2010 11:49

prosím o kontrolu

#2 25. 03. 2010 11:59

Re: prosím o kontrolu

#3 25. 03. 2010 13:05

Re: prosím o kontrolu

#4 25. 03. 2010 13:31

Re: prosím o kontrolu

#5 25. 03. 2010 14:06 — Editoval jelena (25. 03. 2010 14:25)

Re: prosím o kontrolu

#6 25. 03. 2010 14:34 — Editoval Rumburak (26. 03. 2010 08:26)

Re: prosím o kontrolu

#7 25. 03. 2010 16:47

Re: prosím o kontrolu

#8 25. 03. 2010 17:48

Re: prosím o kontrolu

#9 26. 03. 2010 08:19 — Editoval Rumburak (26. 03. 2010 08:55)

Re: prosím o kontrolu

#10 26. 03. 2010 10:11

Re: prosím o kontrolu

vážený kolega Rumburak napsal(a):

#11 26. 03. 2010 12:16

Re: prosím o kontrolu

#12 26. 03. 2010 15:24

Re: prosím o kontrolu

#13 26. 03. 2010 15:51

Re: prosím o kontrolu

Vážená kolegyně jelena napsal(a):

#14 28. 03. 2010 08:27

Re: prosím o kontrolu

Zápatí