Matematické Fórum

Jonagored · 30. 03. 2010 22:11

Prosim o pomoc s udajne trivialnim prikladem. Mam jakysi strucny navod, jenze cvicici neni blondyna jako ja, takze on by to podle toho urcite spocetl, ale ja jsem se nejak ztratila.

Mam dokazat, ze x-ova slozka operatoru momentu hybnosti je hermitovska. Tu vlastnost mam v dukazu pouzit (pocitat za predpokladu, ze je to hermitovsky)
Takze tedy (bez vytknutych konstant) by operator mel znit $y( \delta / \delta z) - z( \delta / \delta y)$

Pavel Brožek

Není mi jasné, co máš předpokládat. Hermitovskost operátoru hybnosti a polohy?

Pak by (obecně pro i-tou složku) mohl důkaz vypadat takto:

$(\hat L_i)^+=(\varepsilon_{ijk}\hat x_j \hat p_k)^+=\varepsilon_{ijk}\hat p_k^+ \hat x_j^+=\varepsilon_{ijk}\hat p_k \hat x_j=\nl =\varepsilon_{ijk}$-[\hat x_j,\,\hat p_k]+\hat x_j \hat p_k$=\varepsilon_{ijk}$-\rm{i}\hbar\delta_{jk}+\hat x_j \hat p_k$=\nl =\varepsilon_{ijk}\hat x_j \hat p_k=\hat L_i$

Člen s deltou vymizel, protože je symetrický v j a k, ale epsilon je v j a k antisymetrické.

(To prohození operátoru hybnosti a polohy by šlo udělat snadněji - víme, že epsilon je nenulové pouze pro $k\neq j$ , a pro taková k a j operátory hybnosti a polohy komutují). Pro $\hat L_x$ by to vypadalo takto:

$(\hat L_x)^+=(\hat y \hat p_z-\hat z \hat p_y)^+=\hat p_z^+ \hat y^+-\hat p_y^+ \hat z^+=\nl =\hat p_z \hat y-\hat p_y \hat z=\hat y \hat p_z-\hat z \hat p_y=\hat L_x$

Jonagored · 30. 03. 2010 23:25

↑ BrozekP:

aha, díky, takhle to vypadá méně zmateně - potom, co jsem zjistila, co je to epsilon. Cvičící to řešil přes integrál z definice (přes ten výraz, který jsem psala), protože s námi nedělal komutátor momentu hybnosti a taky nevíme, co je to epsilon. Tam jsem se zamotala do těch derivací z hybnosti.

Pavel Brožek · 30. 03. 2010 23:31

↑ Jonagored:

Ale to co píšu je za předpokladu, že operátory polohy a hybnosti jsou hermitovské. Pokud to dělal přes integrál, tak to pravděpodobně nepředpokládal.

Jonagored · 30. 03. 2010 23:37

↑ BrozekP:

- mozna to bylo mysleno jako vyjadrit si tu rovnici s integraly a pokud od sebe odectu oba integraly, vyjde mi nula?

Pavel Brožek · 30. 03. 2010 23:43

↑ Jonagored:

To nevím, jestli to tak bylo myšleno. Podstatné je, co můžeš předpokládat. Já bych postupoval tak jak jsem napsal, pokud bych nemohl použít hermitovskost operátorů polohy a hybnosti, tak bych si to zvlášť dokázal, aby byl důkaz úplný.

rughar · 31. 03. 2010 03:01

Váš cvičící nejspíš hemritovskost dokazoval takto

$\int \phi* (\hat L \phi) = \int (\hat L \phi*) \phi$

Kde integrujeme přes celý prostor. Což lze ukázat, stačí si uvědomit vlastnost

$\frac{\partial}{\partial x}(\phi*) = (\frac{\partial}{\partial x}\phi)*$

, která pochopitleně platí pro všechny souřadnice.

Pavel Brožek · 31. 03. 2010 07:42

↑ rughar:

Nemělo by se to dokazovat obecně pro dva různé stavy?

$\int \phi* (\hat L \psi) = \int (\hat L \phi)* \psi$

rughar · 31. 03. 2010 15:09

↑ BrozekP:

Ano :-)

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2010 22:11

Hermitovsky operator

#2 30. 03. 2010 23:12 — Editoval BrozekP (30. 03. 2010 23:29)

Re: Hermitovsky operator

#3 30. 03. 2010 23:25

Re: Hermitovsky operator

#4 30. 03. 2010 23:31

Re: Hermitovsky operator

#5 30. 03. 2010 23:37

Re: Hermitovsky operator

#6 30. 03. 2010 23:43

Re: Hermitovsky operator

#7 31. 03. 2010 03:01

Re: Hermitovsky operator

#8 31. 03. 2010 07:42

Re: Hermitovsky operator

#9 31. 03. 2010 15:09

Re: Hermitovsky operator

Zápatí