Matematické Fórum

peto1310 · 31. 03. 2010 19:50

Caute, napisal by mi niekto podrobny postup, ako riestit takuto ulohu ? Dik

Uloha: Na mnozine celych cisel vyrieste rovnicu $2^x=3y^2 +1$

teolog · 31. 03. 2010 19:53

↑ peto1310:
To je jedna rovnice o dvou neznámých?

peto1310 · 31. 03. 2010 19:56

↑ stepan.machacek:
Presne tak.

Pavel Brožek · 31. 03. 2010 20:10

↑ peto1310:

Vyčleníme případ, kdy x=0, to dořešíš určitě sám. Pokud by x bylo záporné, nebude na levé straně celé číslo a proto rovnost nemůže platit. Zbývá tedy uvažovat kladná x.

Na levé straně je číslo dělitelné dvěma. Kdyby y bylo sudé číslo, bylo by na pravé straně liché číslo a rovnost by nemohla platit. Proto musí být y liché, přepíšeme ho pomocí jiného celého čísla k $y=2k+1$ a dosadíme:

$2^x=3(2k+1)^2+1\nl 2^x=12k^2+12k+4$

Pravá strana je dělitelná čtyřmi, proto musí být $x\geq2$ . Vydělím rovnost čtyřmi:

$2^{x-2}=3k^2+3k+1\nl 2^{x-2}=3k(k+1)+1$

Číslo $k(k+1)$ je určitě sudé (je to součin dvou po sobě jdoucích celých čísel). Proto je pravá strana liché číslo. Musí tedy platit $x-2=0$ (jinak by na levé straně bylo sudé číslo). Dopočítat y už je snadné.

peto1310 · 31. 03. 2010 20:19

↑ BrozekP:

A ako vies, ze uz nebude riesenie pre x > 2 ?

BakyX · 31. 03. 2010 20:35 — Editoval BakyX (31. 03. 2010 20:36)

Keď je x záporne, tak rovnica nebude mať riešenie v množine Z (v ktorej riešiš)
Keď je x 0, tak y=0
Keď je x 1, tak $y = \frac{1}{sqrt{3}}$ (alebo zaporne ( $y =- \frac{1}{sqrt{3}}$ , čo však stale nieje Z)

peto1310 · 31. 03. 2010 20:45

No to mi je jasne, tiez viem vypocitat y, ked x= 2, ale ako viem, ze uz nebudu dalsie riesenia, ked x bude vacsia ako 2 ?

Pavel Brožek · 31. 03. 2010 20:46

↑ peto1310:

$2^{x-2}=3k(k+1)+1$

Pro $x>2$ je na levé straně sudé číslo, na pravé liché.

peto1310 · 31. 03. 2010 20:51

Ahaa, no vdaka za vysvetlenie.

peto1310

Dalsi priklad je na ten isty sposob, ale neviem ako to dokazat, v tomto pripade sa neviem dopracovat, aby som mal na jednej strane parne a na druhej strane neparne cisla, tympadom neviem ake najvacsie x moze byt.

$2^{-x} = 5y^2 + 2$

Poprosil by som este o vysvetlenie tohto prikladu. Dik.

Pavel Brožek · 31. 03. 2010 21:32

Podobně jako v předchozím zadání vyloučíme případy, kdy je exponent záporný, a zvlášť vyřešíme pro x=0.

Potom už zbydou jen případy, kdy je levá strana sudé číslo. Zkus to dořešit, kdyžtak napovím dál.

Olin · 31. 03. 2010 21:40

V obou případech můžeme postupovat třeba i tak, že se na obě rovnosti podíváme modulo 8. Kvadratické zbytky při dělení 8 jsou pouze 0, 1 a 4, což nám v obou případech dává okamžitě podmínku |x| < 3.

peto1310 · 31. 03. 2010 21:44

No, ked je x=0, tak nema riesenie. No asi som sa na to najprv zle pozeral, uz to vidim, ked y nie je rovny 0, tak na pravej strane mam len neparne cisla, a na lavej strane len parne cisla. Cize jediny koren je zrejme [x=-1;y=0]
Da sa to x vypocitat aj nejakou rovnicou ? Lebo keby som si nevsimol riesenie, tak to by bola smola.

peto1310 · 31. 03. 2010 21:48

↑ Olin:
Nenapisal by si to podrobnejsie ? Pretoze nemam ani sajnu ako to myslis.

Olin · 31. 03. 2010 21:49 — Editoval Olin (31. 03. 2010 21:55)

↑ peto1310:
To nemáš úplně pravdu, protože třeba pro y = 2 je $5y^2 + 2 = 22$ , což je sudé číslo.

Jinak rovnice v celých číslech (tzv. Diofantické rovnice) obvykle nejsou o nějakém přímém řešení podle návodu, ale musí se nad tím nějak zauvažovat, něčeho si všimnout atd.

↑ peto1310:

Třeba v tom prvním případě - když je x > 2, je levá strana zřejmě dělitelná osmi. Číslo $y^2$ musí po dělení osmi dávat jeden ze zbytků 0, 1 nebo 4 - žádné jiné zbytky dávat nemůže, o čemž se přesvědčíme třeba dosazením všech možných tvarů, kterých může y nabývat, tj. 8k, 8k+1, 8k+2, …, 8k+7. Číslo $3y^2$ pak musí dávat třikrát větší zbytek - tedy jen jedno z čísel 0, 3, 12 (tedy 0, 3, 4 po odečtení 8). Konečně číslo $3y^2+1$ dává po dělení osmi pouze zbytky 1, 4, 5, takže nemůže být nikdy dělitelné osmi (to by muselo někdy dávat zbytek 0).

peto1310

↑ Olin:
Aha, no su tam aj dalsie parne cisla, je to velka chyba, nevsimol som si. Takze to riesit len cisto odhadom ? Ale je dost tazke sa uistit, ze neexistuje viac rieseni, ako by si riesil tento priklad ?

Uz som si vsimol, ze si to rozpisal. Fuhaa, tak na toto by som asi neprisiel, sikovne riesenie. :)

peto1310

Cize v tom 2. priklade to mozem tiez pouzit, cize pre x < -2 bude lava strana delitelna 8 a na pravej strane dostanem zvysky 2,3,6 ? Cize koren tympadom hladat len v intervale <0;-2> ?

Olin · 31. 03. 2010 22:19

Mně ty zbytky pravé strany vychází 2, 6 a 7.

Jinak tady toto je poměrně často používaná technika - "podívat se" na rovnici jen jako na rovnost zbytků po dělení nějakým číslem.

peto1310 · 31. 03. 2010 22:29

No vlastne hej, pomylil som sa v jednom zvysku, tak dik za vysvetlenie, pokusim sa riesit dalsie priklady.

peto1310 · 31. 03. 2010 23:24

Este sa chcem spytat, keby som posudzoval, ci je cislo $y^2 - 1$ delitelne cislom 8, ako by to bolo s tymi zvyskami, ked tam vychadza aj zvysok $-1$

Olin · 31. 03. 2010 23:44

Co se týče zbytků, tak -1 je "ten samý" zbytek po dělení osmi jako 7. Ono tady to vyjadřování se ve zbytcích je poněkud kostrbaté… Trochu lepší formu to dostane s pomocí tzv. kongruencí, viz např. toto od str. 4 dál.

peto1310 · 31. 03. 2010 23:57

Tiez ma napadlo, ze to pojde do minusu, no istota je istota. Ked posudzujem, ci je $y^2$ delitelne cislom 8, tak mozem to pocitat ako zvysky prideleni 4ma ? Cize y=4k.....4k+3 ? Lebo ked to roznasobim tak mi tam vychadzaju k-nasobky delitelne 8...

Olin · 03. 04. 2010 11:21

↑ peto1310:
Ano, dosazovat tam různé zbytky po dělení čtyřmi stačí. Stačí to i v případě, kdy chceme zjistit zbytky $y^2$ po dělení 16.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2010 19:50

rovnica

#2 31. 03. 2010 19:53

Re: rovnica

#3 31. 03. 2010 19:56

Re: rovnica

#4 31. 03. 2010 20:10

Re: rovnica

#5 31. 03. 2010 20:19

Re: rovnica

#6 31. 03. 2010 20:35 — Editoval BakyX (31. 03. 2010 20:36)

Re: rovnica

#7 31. 03. 2010 20:45

Re: rovnica

#8 31. 03. 2010 20:46

Re: rovnica

#9 31. 03. 2010 20:51

Re: rovnica

#10 31. 03. 2010 21:24 — Editoval peto1310 (31. 03. 2010 21:25)

Re: rovnica

#11 31. 03. 2010 21:32

Re: rovnica

#12 31. 03. 2010 21:40

Re: rovnica

#13 31. 03. 2010 21:44

Re: rovnica

#14 31. 03. 2010 21:48

Re: rovnica

#15 31. 03. 2010 21:49 — Editoval Olin (31. 03. 2010 21:55)

Re: rovnica

#16 31. 03. 2010 21:56 — Editoval peto1310 (31. 03. 2010 22:01)

Re: rovnica

#17 31. 03. 2010 22:08 — Editoval peto1310 (31. 03. 2010 22:17)

Re: rovnica

#18 31. 03. 2010 22:19

Re: rovnica

#19 31. 03. 2010 22:29

Re: rovnica

#20 31. 03. 2010 23:24

Re: rovnica

#21 31. 03. 2010 23:44

Re: rovnica

#22 31. 03. 2010 23:57

Re: rovnica

#23 03. 04. 2010 11:21

Re: rovnica

Zápatí