Matematické Fórum

dundeebrut · 02. 04. 2010 16:10

Dobrý den,

v naprostém zoufalství se na Vás obracím s prosbou o pomoc u třech příkladů, které ať dělám co dělám, nejsem s to vypočítat.. Pokud by byl někdo z Vás ochoten obětovat kousek svého času, byl bych nesmírně vděčen.. Vzdávám tímto hold Vašim matematickým dovednostem, ty mé na to nestačí.. Zde je link:

Ještě důležita poznámka: za a v příkladu číslo 7) nutno dosadit konstantu 14, v příkladu č.8) 10, a v příkladu č.9) to bude opět 14.

Mnohokrát děkuji, třebas za vyřešení jednotlivých částí příkladů!

Dundee

Rumburak

Tak třeba k č. 7.

Je $\tan\,az=\frac {\sin\,az}{\cos\,az}$ , pokud $\cos\,az \ne 0$ .

Nechť M značí množinu všech komplexních kořenů rovnice

(1) $\cos\, az = 0$ ,

což je zřejmě množina uzavřená v $\mathbb{C}$ (protože funkce cos je spojitá v $\mathbb{C}$ ).
Na množině v $\mathbb{C}-M$ , která je definičním oborem fce tan = tg a množinou otevřenou v $\mathbb{C}$ , je fce tangens holomorfní
podle věty o derivaci podílu dvou funkcí (funkce sin, cos jsou, jak známo, holomorfní v $\mathbb{C}$ ).
Zbývá tedy vyšetřiit množinu M, tj. podat úplné řešení rovnice (1) v komplexním oboru. K tomu účelu využijeme vzorec

$\cos\, u = \frac {\text{e}^{\,iu} \,+\,\text{e}^{\,-iu}}{2}$

platný pro každé koplexní číslo $u$ . Z rovnice $\cos\, u = 0$ pak plyne

(2) $\text{e}^{\,2iu}=-1$ .

Nechť $x$ , $y$ jsou po řadě reálná a imaginární část čísla $u$ , tedy $u= x + iy$ , odtud dále

$\text{e}^{\,2iu}=\text{e}^{\,2i(x+iy)}=\text{e}^{\,-2y}\text{e}^{\,2ix}=\text{e}^{\,-2y}(\cos \,2x \,+\, i\,\sin\,2x)$ .

Dle (2) tedy $\text{e}^{\,-2y}(\cos \,2x \,+\, i\,\sin\,2x) = -1$ .

Porovnáním levé a pravé strany poslední rovnice co do reálné a imaginární části obdržíme soustavu rovnic

$\sin\,2x \,=\,0$ , $\text{e}^{\,-2y}\cos \,2x = -1$ ,

jejich vyřešení už patří do SŠ matematiky.
Předpokládám, že toto a formulaci závěru už zvládneš. :-)

dundeebrut · 02. 04. 2010 18:43

↑ Rumburak:

mnohokrát děkuji, perfektní! Smekám..

Co se týče těch příkladů 8 a 9, je to složitější? Prozraď prosím alespon náznak postupu, jak na to, budu hltat každé slovo - je to pro mně existenčně důležité..

Mockrát děkuji ještě 1x za ochotu!!!

jelena · 05. 04. 2010 09:56

↑ dundeebrut:

Zdravím,

komplexní analýzu si pamatuji opravdu velmi mlhavě - ale chtěla jsem upozornit na dosazování hodnoty a v zadání 9) - myslím, že a nemá být 14, ale a=1+4=5.

Tak, po tomto globálním sdělení můj pokus:

materiály+ další vzorové řešení od kolegy Rumburaka (kolegovi děkuji). V řešení používá jak goniometrický, tak exponenciální tvar komplexního čísla.

V zadání 8) sin(z) bych přepsala na exponenciální tvar: $\sin(z)=\frac{e^{\mathrm{i}z}-e^{\mathrm{-i}z}}{2\mathrm{i}}$
a integruje se po kružnice o poloměru t.

V zadání 9) se integruje pro kružnici o středu a (dle mého a=5), poloměru 2a=10. Může se použit Cauchy vzorce - viz odkaz v učebnici. Vychází mi, že při rozkladu (z^2-100)=(z-10)(z+10), bod z=10 leží uvnitř oblasti, ale bod z=-10 je vne oblasti - tomu se přizpůsobí i výsledek integrování.

Děkuji za spravedlivou kritiku.

Rumburak

↑ dundeebrut:
O Velikonocích jsem nepracoval :-).

Ta úloha 8 je lehká:
Funkce sinus je holomorfní v celé komplexní rovině, k ní prímitivní funkce je (například) (- cos), proto požadovaný integrál bude roven
rozdílu (- cos B) - (- cos A), kde A je počáteční bod dané křivky, B pak její koncový bod.

EDIT.

Vyšlo mi trochu času, tak se podíváme dále.

Úloha 9 se řeší pomocí residuové věty. Integrovaná funkce má (při a = 14) singularity v bodech

(1) z = 0 ,

(2) z = 2a,

(3) z = -2a .

V případě (1) jde (s ohledem na čitatele ve zlomku) o tzv. odstranitelnou singularitu (funkci lze v tomto bodě holomorfně dodefinovat limitou),
čímž se tento případ stává pro nás dále nezajímavým.

Ve zbývajících případech jde o jednoduché póly.

Je třeba dále vyšetřit křivku $\Gamma$ . Jde o kružnici se středem v bodě $a$ a poloměrem $2a$ , jejíž parametrický popis je proto
$z \,=\, a \,+\, 2a \text{e}^{\,it}$ , kde $t \in [0,\, 2\pi)$ .

Pól v (3) je z tohoto pohledu nezajímavý, neboť index bodu z = -2a vzhledem ke $\Gamma$ je 0 (křivka "neobíhá" zmíněný bod).

V případě (2) je index bodu z = 2a vzhledem ke $\Gamma$ roven 1 (křivka je kladně orientovaná a "obíhá" bod z = 2a právě jednou).

Je tedy třeba rozvinout integrovanou funkci v Laurentovu řadu se středem v bodě z = 2a, určit residuum, což je koeficient v této řadě
příslušný členu $(z-2a)^{-1}$ , a dosadit do vzorce z residuové věty.

V podstatě tedy stačí určit člen $\frac{c_{-1}}{z-2a}$ z Laurentovy řady integrované funkce, hodnota $c_{-1}$ pak bude hledané residuum
atd., jak řečeno o něco výše.