Matematické Fórum

sudec · 05. 04. 2010 18:06 — Editoval sudec (08. 04. 2010 20:08)

Zdravim.

Mam tu zopar prikladov s ktorymi si neviem rady. Akakolvek pomoc by sa hodila.

Dakujem.

1) [vyriesene] Akú rýchlosť malo auto, keď vodič po zhliadnutí prekážky až do zastavenia prešiel dráhu
s = 35 m? Jeho reakčný čas tr = 0,8 s a brzdil spomalením a = 6,5 m s−2.

2) Počiatočná rýchlosť strely z mínometu je v0 a uhol, ktorý zviera s vodorovnou rovinou je a
(α > 45°). Priamo k mínometu sa blíži tank s rýchlosťou vt. V akej vzdialenosti d1 tanku
od mínometu musí mínomet vystreliť, aby tank zasiahol? V akej vzdialenosti d2 od mínometu
bude tank zasiahnutý?

3) Koleso s polomerom R rotuje s frekvenciou f. Pôsobením brzdiacej sily ho zastavíme za čas
t1. Aké bolo tangenciálne, dostredivé a celkové zrýchlenie počas pohybu (ak predpokladáme,
že tangenciálne zrýchlenie " je konštantné)?

4) [vyriesene] Teleso sa pohybuje priamočiaro, s počiatočnou rýchlosťou v0 so zrýchlením a = −kv^2 (k je
kladná konštanta). Určte závislosť rýchlosti v od prejdenej dráhy s.

Ivana · 05. 04. 2010 20:36

↑ sudec:

1. Tady je něco o reakčním času :

http://cs.autolexicon.net/articles/brzdna-draha

zdenek1

↑ sudec:
1) Celou situaci si zaneseme do grafu

dráha je číselně rovna ploše na grafu. V grafu je ale lichoběžník, jehož plochu vypočítáme podle geometického vzorečku
$S=\frac12(a+c)h$
$a=t_r+\frac va$ , $c=t_r$ $h=v$
$s=\frac12(2t_r+\frac va)v$
Po dosazení dostaneme kvadratickou rovnici
$70=1,6v+\frac{v^2}{6,5}$
Její řešení $v=16,75\ m/s$ , tj. asi 60 km/h.

sudec · 05. 04. 2010 22:46

↑ zdenek1:

toto sedi.

Super. Dakujem velmy pekne.

Jan Jícha · 05. 04. 2010 22:50

↑ sudec: Sorry za OT, ale prosím nemaž zadání těch úloh. Když už, tak napiš pod to, že jsou už vyřešené, ale nech je tam.

sudec · 06. 04. 2010 13:15

↑ Honza Matika:

Sorry. Je to spat

sudec · 06. 04. 2010 17:13

vedel by este niekto pomoct s ostatnymi.

Dakujem

jelena · 06. 04. 2010 17:36

↑ sudec:

Zdravím,

2) je třeba zapsat rovnice dráhy $s_1$ pro šikmý vrh (střela minometu) a $s_2$ rovnoměrný pohyb tanku. Za čas t překonaji společně dráhu $s=s_1+s_2$

3) nerovnoměrný pohyb po kružnici

4) integrovat po dt zrychlení (tak, jak je zadáno $-kv^2$ ), dostaneme vzorec pro rychlost, integrovat tuto rychlost po dt, dostaneme vzorec pro dráhu s. Z výsledného vzorce vyjádříme v.

Pomůže?

zdenek1 · 06. 04. 2010 17:52

↑ sudec:
4)
$\frac{dv}{dt}=-kv^2$
$\frac{dv}{v^2}=-kdt\ \Rightarrow\ \int\frac{dv}{v^2}=-k\int dt$
$-\frac 1v=-kt-C$
$\frac 1v=kt+C$ z počátečních podmínek $\frac 1{v_0}=0+C$
$\frac 1v=kt+\frac1{v_0}=\frac{ktv_0+1}{v_0}$
$v=\frac{v_0}{ktv_0+1}$ (1)

$\int vdt=s\ \Rightarrow\ s=\int\frac{v_0}{ktv_0+1}dt$
$s=\frac1k\ln(ktv_0+1)+C_1$ tady nemáš počáteční podmínky, doplním $s(0)=0$ , pak $C_1=0$
z (1) vyjádřím $ktv_0+1=\frac {v_0}{v}$ a dosadím
$ks=\ln\left(\frac{v_0}{v}\right)\ \Rightarrow\ v=\frac{v_0}{e^{ks}}=v_0e^{-ks}$