Matematické Fórum

↑ Fonzi:

1. Rovnice má tři reálné kořeny např. pro b=0. Stačí vyšetřit průběh funkce . Funkce má dva lokální extrémy, maximum a minimum. Maximum je kladné, minimum je záporné. Protože

a

a funkce je spojitá na , není jiná možnost, než že funkce musí protnout osu ve třech bodech.

2. Rovnice nemůže mít celočíselné kořeny. Pokud by byly celočíselné kořeny, pak by z Vietových vztahu plynulo

a .

Z první identity vyplývá, že

a) všechna čísla jsou záporná. To je však ve sporu s identitou druhou.

nebo

b) právě jeden kořen je záporný. Aby platila identita druhá, muselo by jedno ze zbývajících řešení být větší nebo rovno 1006. Pokud by tomu tak bylo, pak by první rovnice neměla v oboru celých čísel žádné řešení.

↑ Fonzi:Tak to máš napsat do tématu středních škol..

Na SŠ by stačilo si všimnout toho, že pro b=0 je kořen 1, po jeho odštěpení  zbude polynom
x^2-2010x-2010
který má reálný kořen.

Pro celočíselné kořeny lze postupovat různě, je-li ti bližší analýza, tak podle Pavla, pokud teorie čísel, tak si stačí rozmyslet, co říkají vztahy
a o sudosti kořenů.

Z rovnice víme, že právě jedno z je sudé (jinak by byl součin buď lichý, nebo dělitelný 4). A to je v rozporu s .

↑ Pavel:
s Kondrem jste to řešili oba dvá správně, ale přeci jen mě napadá jedna otázka.. v zadání bylo pro jaké hodnoty parametru "b" má rovnice tři reálné kořeny - ano našel si , že pro b=0 to platí, ale jak můžeš vědět , že tři různé reálné kořeny to má i pro jiné hodnoty parametru?
U tý sudosti bych řek, že je to vidět

↑ Pavel:

Jo, stačí to takhle samozřejmě pro b=0 a ta první část je hotová. Teď ještě doklepat tu druhou a pololetní práce je v pohodě...nevíte, jak by se dal strukturovat ten důkaz z tý druhý části? Já nechápu to, co Kondr psal o tý dělitelosti 4kou v tom posledním přípěvku, jak to, že by to muselo být dělitelné 4mi?
Díky za odpově´d

↑ Fonzi:

mě to spíš připadá jako příklad z MO než že by vám něco takovýho zadali na SŠ:))) protože sám studuji na gymnáziu Christiana Dopplera v Praze, kterej je dost spjatej s MatFyzem a nic takovýho jsme neřešili:D

↑ PeterSheldon:

My to máme na semináři z matiky na Keplerovi . U nás ve škole máme dva stupně výuky matiky jako tý v normálním rozvrhu,podle toho, jestli chceš maturovat, nebo ne. Ta "nematuritní" spodní snad nepočítá snad ani kvadratický rovnice, ale ani v tý normální maturitní se snad rovnice vyšších stupňů normálně nedělaj, takže s tim se pereme na tom semináři.

Pokud bude jeden kořen záporný, např. , pak v součtu musí být alespoň jeden kořen ze dvou zbývájících alespoň 1006. Kdyby byly oba dva zbývající menší než 1006, tzn. , , pak by jejich součet byl maximálně 2010. No a kořen je záporný. A s tím se v součtu všech tří kořenů na 2011 nedostaneš.