Matematické Fórum

kacenace

moc prosím pomoc, už se s tím trápím 14 dní a zítra to musím odevzdat :-(
vůbec nevím jak začít. můžete mě prosím naťuknout?

Ivana · 12. 04. 2010 20:03

↑ kacenace:Naťuknout mohou i tyto stránky :

http://www.ucebnice.krynicky.cz/Matemat … erbola.pdf

kacenace · 12. 04. 2010 20:22

no to je moc hezky udělaný, akorát že tomu ani trochu nerozumim a nevím jak to použiju do svých příkladů. :-(
třeba u toho prvního, když mám zadaný střed, a, a bod, tak tu rovnici dohromady dám, ale to "e" mě tam mate. nevím jak to mám dosadit a jestli k tomu ještě musím něco vypočítat... :-(

jelena · 12. 04. 2010 20:41

↑ kacenace:

na str. 5 v odkazu od Ivany je takový obrázek hyperboly s vyznačením všeho, co je podstatné. Na obrázku nájdeš pravoúhlý trojuhelník s přeponou e, jedna odvěsná je a, druhá b. A z toho vypočteš hodnotu b, kterou pak použiješ do rovnice hyperboly atd.

Chrpa · 12. 04. 2010 20:52 — Editoval Chrpa (12. 04. 2010 21:40)

↑ kacenace:
Př-1)
To e tam máš proto, abys určil b
platí:
$e^2=a^2+b^2\nl169=144+b^2\nlb^2=25$
Rovnice hyperboly rovnoběžná s osou x:

$\frac{(x-5)^2}{144}-\frac{(y+2)^2}{25}=1$
$A(-7;\,-2)\nlB(17;\,-2)\nlE(-8;\,-2)\nlF(18;\,-2)$
Rovnice hyperboly rovnoběžná s osou y
$\frac{(y+2)^2}{25}-\frac{(x-5)^2}{144}=1$
$A(5;\,3)\nlB(5;\,-7)\nlE(5;\,11)\nlF(5;\,-15)$

kacenace · 12. 04. 2010 21:05

já jsem blbá! nechápu proč z toho furt tvořim obecnou rovnici a divim se, že mi z toho lezou velký čísla! ach jo.
takže tenhle krok jsem zvládla, ale ted vůbec netuším, jak se dostanu k těm ohniskům...
když je rovnoběžná s x, tak mi vyjde: E(-8;-2) f(18;-2)
a když s y tak: E(5;-15) F(5;11) ???
a nebo je to přesně opačně a já si to už jdu hodit...

kacenace · 13. 04. 2010 14:40

↑ Chrpa:jsem si včera ani nevšimla, že je tu odpověď, takže díky. a můžu se ještě zeptat?
ta 2 mi vyšla takhle:
S [-2;-1]
a = 3
b = 4
E [-2;-6]
F [-2;4]
ale za boha nevim jak určím se kterou osou je rovnoběžná a souřadnice hl. vrcholů...

u 2b zase nemůžu přijít na to, jak vytvořim rovnici přímky... všechno se mi to motá :(

Cheop · 13. 04. 2010 14:57

↑ kacenace:
2b)
Přímka bude procházet body A, B
směrový vektor A-B=(3;3) =(1; )
normálový vektor přímky (1; -1)
Rovnice bude mít tvar:
x-y+c=0 dosadíš jeden z bodů buď A nebo B a dpočteš c
Po dosazení bodu A (jeho souřadnic)
4-1+c=0
c=-3
Rovnice přímky bude:
$x-y-3=0\nlx=y+3\nlx^2=y^2+6y+9\nl3x^2=3y^2+18y+27$ - dosadíš do rovnice hyperboly a vypočítáš zdamají a kolik společných bodů
$3y^2+18y+27-15y^2-45=0\nl2y^2-3y+3=0$ - nemá řešení

Chrpa · 13. 04. 2010 18:37 — Editoval Chrpa (14. 04. 2010 12:49)

↑ kacenace:
Př.3)
Hyperbola:
$\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{36}=1\nl4x^2-9y^2-324=0$
Přímka:
$x=-9+3t\nly=4t$ za x a y dosadíme do rovnice hyperboly a zjistíme průsečík(y)
Nejdříve si x a y upravíme:
$x^2=81-54t+9t^2\nl4x^2=324-216t+36t^2\nly^2=16t^2\nl-9y^2=-144t^2$
Dosadíme do rovnice hyperboly:
$4x^2-9y^2-324=0\nl324-216t+36t^2-144t^2-324=0\nl108t^2+216t=0\nlt^2+2t=0\nlt(t+2)=0\nlt_1=0\nlt_2=-2$
Nyní zpátky dosarím do rovnice přímky a dopočtu souřadnice průsečíku.
Pro $t=0$
$x=-9+3t\nl-9+0=-9\nly=4t\nly=0\nlP_1(-9;\,0)$
Pro $t=-2$
$x=-9+3t\nlx=-9-6\nlx=-15\nly=4t\nly=-8\nlT_2(-15;\,-8)$
Průsečíky přímky s hyperbolou mají souřadnice:
$P_1(-9;\,0)\nlP_2(-15;\,-8)$

Chrpa · 13. 04. 2010 18:53 — Editoval Chrpa (14. 04. 2010 12:45)

↑ kacenace:
Př.4)
Hyperbola:
$4x^2-9y^2-72=0$
Přímka:
$2x-y-8=0$ vyjádřím si y a dosadím do rovnice hyperboly
$2x-y-8=0\nly=2x-8\nly^2=4x^2-32x+64\nl-9y^2=-36x^2+288x-576$ toto dosadím do rovnice hyperboly a zjistím vzájemnou polohu.
$4x^2-9y^2-72=0\nl4x^2-36x^2+288x-576-72=0\nl32x^2-288x+648=0\nl4x^2-36x+81=0\nlx=\frac 92$
Tato kvadratická rovnice má jedno řešení to znamená , že přímka je tečnou hyperboly.
Dopočítáme y-0vou souřadnici bodu dotyku:
$y=2x-8\nly=2\cdot\frac 92-8\nly=1$
Bod dotyku má souřadnice:
$T\left(\frac 92;\,1\right)$
Určení zda přímka není rovnoběžná s jednou asymptotou:
Pro rovnice asymptot platí:
1) pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou x (náš případ)
$y-n=\pm\frac ba\left(x-m\right)$ protože střed naší hyperboly je $S(0;\,0)$ a $a=3\sqrt2$ $b=2\sqrt2$
$y=\pm\frac{2\sqrt2}{3\sqrt2}x$ - po úpravě:
$2x-3y=0\nl2x+3y=0$
Ani jedna asymptota není rovnoběžná s uvedenou přímkou.

PS: Aby byla rovnoběžná pak by přímka musela mít rovnici:
1) $2x-3y+c=0$
2) $2x+3y+c=0$
Obrázek:

PS: Přímka nemůže být rovnoběžná ani s jednou asymptotou i z toho důvodu,
protože je tečnou hyperboly. Mohla by být totožná s asymptotou.

kacenace · 13. 04. 2010 20:59

↑ Chrpa: Př 4) tak tohle jsem docela pochopila....
akorát teda: jak jsi přišel na to, že x= 9/2?
a ty asympoty, kde jsi vzal ta čísla? jak poznáš, že střed je (0;0)?

Chrpa · 13. 04. 2010 22:28 — Editoval Chrpa (13. 04. 2010 22:29)

↑ kacenace:
1) Že x = 9/2 jsem určil tak, že jsem řešil tuto kvadratickou rovnici. $4x^2-36x+81=0$
2) Že střed je $S(0;\,0)$ jde určit z rovnice hyperboly, protože rovnice má jen kvadratické členy
u x resp. y tedy $ax^2-by^2$ Rovnice je: $4x^2-9y^2-72=0$

Chrpa · 14. 04. 2010 11:07 — Editoval Chrpa (14. 04. 2010 12:23)

↑ kacenace:
Př.5)
$b=3\sqrt2\nlb^2=18$
Rovnice hyperboly dle zadání bude vypadat takto:
$\frac{(y+5)^2}{a^2}-\frac{(x-2)^2}{18}=1$ - za x a y dosadíme souřadnice bodu H(-1; -2)- bod leží na hyperbole.
$\frac{(-2+5)^2}{a^2}-\frac{(-1-2)^2}{18}=1\nl\frac{9}{a^2}-\frac{9}{18}=1\nl\frac{9}{a^2}=\frac 32\nla^2=6$
Rovnice hyperboly:
$\frac{(y+5)^2}{6}-\frac{(x-2)^2}{18}=1$ -

Chrpa · 14. 04. 2010 12:42 — Editoval Chrpa (14. 04. 2010 12:42)

↑ kacenace:
Př.7)
$x^2-y^2=1$
$y=kx-2\nly^2=k^2x^2-4kx+4$ - toto dosadíme do rovnice hyperboly
$x^2-y^2=1\nlx^2-k^2x^2+4kx-5=0\nlx^2(1-k^2)+4kx-5=0$ aby přímka s hyperbolou měla 1 společný bod pak
Diskriminant této kvadratické rovnice musí být 0 tedy:
$(4k)^2-4\cdot(-5)(1-k^2)=0\nl16k^2+20-20k^2=0\nl4k^2=20\nlk^2=5\nlk=\pm\sqrt5$
Parametr k je jak výše uvedeno.
Můžeme dopočítat rovnice přímek:(dosazením za k do rovnice přímky)
1) $\sqrt 5\,x-y-2=0$
2) $\sqrt 5\,x+y+2=0$
Obrázek: