Matematické Fórum

Nevim, dál · 22. 04. 2010 01:26

Zdravím,
mám menší problém s výpočtem integrálu:
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^4+6x^2+25}dx$
pomocí reziduové věty.
Nejsem si jist výsledky, které opakovaně dostávám. Singularity jsem určil jako:
$\pm(1\pm2i)$
Reziduum při užití singularity $1+2i$ mi vychází $\frac18-\frac1{16}i$ , což po přenásobení $2\pi i$ dává $(\frac{i}{4}+\frac{1}{8})\pi$ . Zdá se mi to divné, páč a protože jsem to zkoušel vypočítat několika softwary a ty vyhazují výsledek $\frac{\pi}{4}$ .
Potřeboval bych poradit, respektive říct, zdali je to dobře. Pokud ano, tak proč to vychází jinak "rúčo" a jinak pomocí PC? Díky

Pavel Brožek · 22. 04. 2010 07:29

Přes jakou křivku v komplexní rovině integruješ? (Započítal jsi residua ve všech bodech uzavřených do křivky? Řekl bych, že jsi vynechal residuum v bodě -1+2i.)

Nebo používáš při výpočtu rovnou nějakou větu a křivku neřešíš?

Nevim, dál

↑ BrozekP:
S zou křivkou nijak nepracuju. Rovnou použiju větu na výpočet rezidua, nicméně když nad tím tak přemýšlím, popravdě neumím postup, jakým se určuje, kolik z určených singularit do té uzavřené křivky patří a které jsou "mimo" oblast zájmu... Intuitivně mi teď už přijde logické, že když v Gaussově rovině nějakým způsobem najdu půlkruhovou uzavřenou křivku (nevím, jaký je obecný postup, my vždy uzavřenou křivku hledáme ve tvaru půlkruhu se spojnicí "krajních bodů") se středem v počátku a vhodně voleným poloměrem, která obsahuje 1+2i, pak musí obsahovat -1+2i. Zkusím poižít i tu druhou singularitu. Zatím díky.

Tak po tom, co jsem přičetl i druhé reziduum (pro -1+2i vychází stejné, jako vychází pro 1+2i), jsem se dostal k výsledku
$\frac{\pi i}{2}+\frac{\pi}{4}$ , až na tu imaginární část je to tedy skoro hotové.
Mohl by existovat nějaký důvod pro to, abych si z výsledku vybral jen reálnou část?

Rumburak · 22. 04. 2010 09:47

↑ Nevim, dál:
A $\frac{\pi i}{2}+\frac{\pi}{4}$ je výsledek čeho ? Pokud integrálu $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^4+6x^2+25}dx$ , tak to nemůže být dobře,
protože intagrál z reálné funkce přes podmnožinu reálné osy nemůže mít imaginární hodnotu.
Nejlepší, myslím, bude, když svůj postup podrobněji popíšeš - pak snad bude možno chybu odhalit.

Nevim, dál

↑ Rumburak:

Singularity:
$x^4+6x^2+25=0 \rightarrow x_{1,2,3,4}=\pm(1\pm2i)$ .
Obvod horního kruhu obsahuje dvě z nich, konkrétně $\pm1+2i$ . Reziduum počítám dle vztahu $res_{\alpha}\frac{f}{g}=\frac{f(\alpha)}{g'(\alpha)}$ , kde $f(z)=z^2$ a $g(z)=z^4+6z^2+25$ . Pak po dosazení $\alpha=\pm1+2i$ mi vyjde jako reziduum $\frac{1}{8}-\frac{i}{16}$ (pro obě)- řekl bych, že chybu musím dělat už někde tady při výpočtu, ale za boha nevim kde.

Edit:
Ach jo, opět se experimentálně prokázalo, že když TO ve 3 ráno po 6 hodinách výpočtů nevychází, tak je blbě znaménko. Pro singularitu v $-1+2i$ vyjde $\frac{-1}{8}-\frac{i}{16}$ , takže se odečte a sečte, co se má sečíst a odečíst a opravdu vyjde $\frac{\pi}{4}$ .

Díky všem za pomoc.

Rumburak

↑ Nevim, dál:
Kořeny polynomu $x^4+6x^2+25$ nechť jsou $\alpha = 1 + 2i$ , $\beta = -1 + 2i$ , $\gamma = 1 - 2i=-\beta$ , $\delta = -1 - 2i = -\alpha$ .
Pokud chceme použít "horní" půlkružnnici, pak nás zajímají opravdu pouze residua $r_{\alpha}$ , $r_{\beta}$ v bodech $\alpha$ , $\beta$ .
Integrovaná funkce má v těchto bodech jednoduché póly, proto

$r_{\alpha} = \frac {\alpha^2}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta)} = \frac{1}{8} - \frac{1}{16}i$ (což je v souladu s Tvým výpočtem),
$r_{\beta} = \frac {\beta^2}{(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)(\beta-\delta)} = -\frac{1}{8} - \frac{1}{16}i$ (což mi vyšlo jinak, než Tobě).

Že pro poloměr kružnice blížící se k nekonečnu jde integrál přes půlkružnici k 0, se dokáže celkem snadno.

Hledaný integrál by měl podle mne vyjít $2\pi i (r_{\alpha} + r_{\beta}) = 2\pi i ( - \frac{1}{8}i ) =\frac {1}{4}\pi$ .

EDIT: Bohužel jsem si nepřečetl Tvůj edit, takže můj příspěvek je už zbytečný.