Matematické Fórum

joukie · 24. 04. 2010 18:39 — Editoval joukie (24. 04. 2010 18:41)

Ahoj potreboval bych pomoci s timto prikladem, neco jsem spocital ale nejsem si tim jist. Predem diky moc.

Predpokladejte, ze manazer ma k dispozici 90 milionu za ktere chce koupit stroje typu A ktere stoji 3 miliony za kus, a stroje typu B, ktere stoji 5 milionu za kus. Pocet stroju typu A oznacime x a typu B oznacime y. Podminka na maximalni uzitecnost vede k hledani maxima funkce xy. Kolik stroju typu A a B manazer koupi, aby maximalizoval uzitecnost? Reste pomoci Lagrangeovych multiplikatoru.

lukaszh · 24. 04. 2010 20:14

↑ joukie:

Keď máme zadanú funkciu užitočnosti, tak už by to nemalo byť ťažké. Nebudem vypisovať 90.000.000 ani 3.000.000, ale na miesto toho označíme použiteľnú hotovosť $p$ a ceny $p_A,p_B$ . Obmedzenie máme

To znamená, že máme úlohu na maximalizáciu úžitkovej funkcie u(x,y) = xy pri danom ohraničení.

$\mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda(p_Ax+p_By-p)$

To je Lagrangeova funkcia. Spočítame jej extrémy vzhľadom na x, y
$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=y-\lambda p_A=0\nl \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=x-\lambda p_B=0$
Máme dve rovnice, tri neznáme. Priberieme preto ešte ohraničenie ako rovnicu a dostávame systém, ktorý treba riešiť:

Z prvej rovnice máme jednoducho vypočítané y. Dosadíme do druhej rovnice

Poriešime tento lineárny systém a máme odpoveď. Z matice druhej derivácie sa presvedčíme, že ide o maximum.

joukie · 24. 04. 2010 20:44

↑ lukaszh:
az do to posledniho kroku je mi to jasny jak se na to prislo...ale jak to mam pak poresit dal?musim do toho nak dosadit ne?

jelena · 25. 04. 2010 11:45

↑ joukie:

Zdravím, asi použit zpět hodnoty pro označení, které používá:

kolega Lukáš napsal(a):
Nebudem vypisovať 90.000.000 ani 3.000.000, ale na miesto toho označíme použiteľnú hotovosť p a ceny p_A, p_B

(v citátu není 5.000.000, což je (p_B))

V pořádku?

OT: kolegu srdečně zdarvím :-) snad jsem nenarušila dokonalost výkladu.

lukaszh

↑ jelena:

Taktiež zdravím a pekne ďakujem za doplnenie :-) Škoda len, že už nemôžem pridať jedno pekné zelené +.

↑ joukie:

Posledným krokom rozumiem systém

Tak? Riešiť to, to je otázka tvojej vzdelanosti v lineárnej algebre. Snáď to bude jasnejšie, keď to zapíšeme v maticiach

$\begin{bmatrix}p_A&p_Ap_B\nl1&-p_B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\nl\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p\nl0\end{bmatrix}$

Inak sa to dá riešiť prosto tým, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu, dosadíme do druhej rovnice (to je otázka základnej školy). Z druhej rovnice máme

$x=\lambda p_B$

Dosadíme do prvej a vypočítame $\lambda$

Keď už poznáme $\lambda$ , tak môžeme dopočítať stacionárny bod $(x^*,y^*,\lambda^*)$ , ktorý je mimochodom jediný. Z predchádzajúcich rovníc to pre teba iste nebude problém.

Stacionárny bod Zobrazit/skrýt!

jelena · 25. 04. 2010 13:14

↑ lukaszh:

Děkuji :-) - takové OT: ještě větší radost mi uděláš, když s kolegou dořešíte jeho problém. Děkuji převelice a konec OT :-)

lukaszh

↑ jelena:

Zabudol som na toto :-) Ale vidím, že kolega Kondr sa tomu venuje. Ďakujem.

joukie · 25. 04. 2010 17:09

Potom co sem napsal druhej dotaz sem se na to vrhnul a spocital to.díky moc za pomoc.

jelena · 26. 04. 2010 01:07

↑ lukaszh: také děkuji kolegovi Kondrovi, že zareagoval na mou prosbu (pravda, vždy, když se pokouším označovat témata za vyřešená, tak si připádám jako doma .... - o toto autičko už jsem zakopla i včera, tak ho asi uklídím).

↑ joukie: tak bych si dovolila toto téma označit za "vyřešené".

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2010 18:39 — Editoval joukie (24. 04. 2010 18:41)

Lagrangeovy multiplikátory(příklad)

#2 24. 04. 2010 20:14

Re: Lagrangeovy multiplikátory(příklad)

#3 24. 04. 2010 20:44

Re: Lagrangeovy multiplikátory(příklad)

#4 25. 04. 2010 11:45

Re: Lagrangeovy multiplikátory(příklad)

kolega Lukáš napsal(a):

#5 25. 04. 2010 12:11 — Editoval lukaszh (25. 04. 2010 12:12)

Re: Lagrangeovy multiplikátory(příklad)

#6 25. 04. 2010 13:14

Re: Lagrangeovy multiplikátory(příklad)

#7 25. 04. 2010 14:37 — Editoval lukaszh (25. 04. 2010 14:37)

Re: Lagrangeovy multiplikátory(příklad)

#8 25. 04. 2010 17:09

Re: Lagrangeovy multiplikátory(příklad)

#9 26. 04. 2010 01:07

Re: Lagrangeovy multiplikátory(příklad)

Zápatí