Matematické Fórum

katan · 09. 05. 2010 01:34

zdravím, chtěl bych poprosit o výpočet s rozepsaným postupem, potřebuji si na to napsát opravku:

a) stanovte rovnici hyperboly,, která má ohniska v hlavních vrcholech elipsy a hlavní vrcholy v ohniscích elipsy
b) určete průsečíky obou křivek
c) napište rovnici tečen v jednom jejich průsečíku
d) vypočtěte odchylku těchto tečen

marikacz · 09. 05. 2010 07:11

Ahoj, z tohoto jsem už poněkud mimo, ale snad jsem tomu rozuměla a něco mi zůstalo. Takže podle mě je postup následující:

1]
Budeme vycházet z normované středové rovnice pro elipsu:

${\frac{{x-x_{0}}^{2}}{a_{e}^{2}}+\frac{{y-y_{0}}^{2}}{b_{e}^{2}}=1}$

a hyperbolu:

${\frac{{x-x_{0}}^{2}}{a_{h}^{2}}-\frac{{y-y_{0}}^{2}}{b_{h}^{2}}=1}$

kde

${S=[0,0]}$
${a_{e},b_{e},a_{h},b_{h}}$

Jsou po řadě hlavní a vedlejší osa elipsy, hlavní a vedlejší osa hyperboly.
Dále platí:

${e_{e}=\sqrt{a_{e}^{2}-b_{e}^{2}}}$

což udává excentricitu, neboli vzdálenost středu od ohniska elipsy. Pro hyperbolu platí malinko odlišný vztah:

${e_{h}=\sqrt{a_{e}^{2}+b_{e}^{2}}}$

Postupujeme takto:
Nejprve převedeme rovnici elipsy na normovaný středový tvar vydělením rovnice 6 a dostáváme:

${\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1}$

Z této rovnice a vlastností hyperboly a elipsy (viz. např. wikipedie) vyplývá:

${S_{e}=S_{h}=[0,0]}$

neboli střed obou kuželoseček leží v počátku.
${a_{e}=e_{h}=\sqrt{6}}$

${e_{e}=a_{h}=\sqrt{3}}$

${b_{h}=\sqrt{3}}$

Takže dostaneme rovnici hyperboly:

${\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{3}=1}$

2]
Průsečík obou křivek dostaneme řešením soustavy jejich rovnic, vychází ${x=\pm \sqrt{6}}$ a ${y=\pm \sqrt{3}}$

3]

Rovnice tečny hyperboly je zde http://cs.wikipedia.org/wiki/Hyperbola# … .9Bn.C3.AD , stačí dosadit do vzorce, analogicky pro elipsu je rovnice její tečny ${\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1}$ , opět stačí dosadit.

4]
Odchylka dvou přímek např. zde: http://www.aristoteles.cz/matematika/an … rimka.php.

Snad to trochu pomohlo...

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2010 01:34

rovnice hyperboly

#2 09. 05. 2010 07:11

Re: rovnice hyperboly

Zápatí