Matematické Fórum

johnykroulis · 11. 05. 2010 22:15

Zdravím kolegové matematici, ve škole se nám vyskytl problém, na který nám ani paní profesorka nedokázala odpovědět, spoléhám na to že najdu odpověd mezi váma :) Týká se to trigonometrie obecného trojúhelníku, Znáte všechny těžnice (8cm,6cm,4cm) a chcete z nich spočítat strany. A je to na procvičování sinovi a kosinovi věty. Děkuju za nápady a názory

teolog · 11. 05. 2010 22:42

↑ johnykroulis:
Dobrý večer,
nejsem si moc jistý, ale tohle jsem našel na wikipedii:

Tak podle toho by šla sestavit soustava tří rovnic o třech neznámých.
Ale zrovna sinová nebo kosinová věta v tom není... :)
Ledaže by ty věty byly nějak schované v těch vzorcích, které by se měly odvodit...opravdu nevím, jen střílím naslepo.
Snad někdo zkušenější poradí lépe.

Tychi · 11. 05. 2010 23:05

↑ stepan.machacek:V těch vzorcích bude kosínová asi schovaná.
↑ johnykroulis:Když si vezmu dva trojúhelníky, které jsou u vrcholu A, tak si můžu sestavit kosínovky ..
$t_b^2=$\frac {b}{2}$^2+c^2-2\cdot\frac b2\cdot c \cdot\cos\alpha$
$t_c^2=$\frac c2$^2+b^2-2\cdot\frac c2\cdot b \cdot\cos\alpha$
z nich dostanu vztah $t_b^2-t_c^2=$\frac b2$^2+c^2-$\frac c2$^2-b^2$

Podobně bych to udělala s úhlem betta a gama a dostala bych soustavu tří kvadratických rovnic o třech neznámých: a, b, c.
Možná, že pokud by se zapojila sínovka, vyšlo by to nějak rychleji.

frank_horrigan

↑ stepan.machacek:

Brainstorming, tedy nemusí to vést k nějakému řešení, natož pak správnému
Též si myslím, že sinova nebo cosinova veta v tom použít uplně dobře nepůjde, přece jenom pro sinovou i cosinovou vetu potrebujes alespon jeden uhel (pokud mozno ten, který svírají zadané strany. I přesto, rovnice pro výpočet těžnic mi dost zavánějí derivátem cosinové věty, která zní $a^2 = b^2+c^2- 2bc. cos\alpha$ Víme, že těžnice půlí stranu na dvě stejné poloviny. Stejný vzorec platí i pro stranu b a její úhel beta. Přitom naopak ze sinove věty víme, že $\frac{a}{b} = \frac{sin \alpha}{sin \beta}$ . Z toho tedy vznikne soustava rovnic. Dokážeš si z toho odvodit vzorce pro těžnice výše uvedené???

Arcasil

Využij poznatků které víš o těžnicích v trojúhelníku (má to co dělat s poměrem 1:2), a také to, že základna je rovnoběžná s přímkou danou body které leží v polovině těch dvou zbývajících stran. -Vykouzlíš tedy dva podobné trojúhelníky, kde neznáš vždy jednu stranu. Vyjádříš si poměr základen podobných trojúhelníků, poté kosinová věta. ->> 3 rovnice o třech neznámých. Dvě základny a společný úhel.

Snad jsem to sepsal správně.

Mrkni na to co jsem ti nastínil, však to už dopočítáš.

Chrpa · 11. 05. 2010 23:17 — Editoval Chrpa (13. 05. 2010 10:37)

↑ johnykroulis:
Když použiješ koinovou větu pak dostaneš:
1) $t_a^2=\frac{a^2}{4}+b^2-ab\cdot\cos\gamma\nl\cos\gamma=\frac{a^2+4b^2-4t_a^2}{4ab}$
2) $t_b^2=a^2+\frac{b^2}{4}-ab\cdot\cos\gamma\nl\cos\gamma=\frac{4a^2+b^2-4t_b^2}{4ab}$
Porovnáním 1) a 2) dostaneme:
$3(a^2-b^2)=4(t_b^2-t_a^2)$
Analogicky:
pro cos beta dostaneme:
$3(c^2-a^2)=4(t_a^2-t_c^2)$
pro cos alfa:
$3(c^2-b^2)=4(t_b^2-t_c^2)$
Máme 3 rovnice o 3 neznámých - to by mělo jít spočítat.
Nechám to na Tobě
Jdu hajat.
PS:
Bohužel ty rovnice jsou na sobě závislé takto to zřejmě nepůjde nebo jsem někde udělal chybu (svedeme to na soudruhy z NDR)

Tychi · 11. 05. 2010 23:20

↑ frank_horrigan:Brrr. Těžnice nepůlí úhel, od toho máme osu úhlu. Neplést prosím!

frank_horrigan · 11. 05. 2010 23:24

↑ Tychi:

Já to fakt dneska zabalim.. Dělám jeden kopanec za druhym - snad ani jeden spravný příspěvek. Děkuji za opravu, zkusim editovat předochozí tak, aby celkově ta moje myšlenka měla smysl

jelena · 12. 05. 2010 00:46

Zdravím vás,

bylo řešeno v roce 2007, můj výpočet používal Pythagora, odvozené vztahy, jak je uvedeno u ↑ stepan.machacek: jsou použity v příspěvku kolegy Kondra (v roce 2007 jsem to skutečně cvičně odvozovala pomocí kosinovy věty).

Další postup řešení je od kolegy Olina, kolegovi děkuji.

johnykroulis · 12. 05. 2010 17:11

Děkuji vám mnohokrát z avaše nápady názory, v tom je matematika nádherná, na té rozmanitosti. Zkusím to tak i tak. Zatím se mějte a ještě jednou děkuji.

barca.pilar · 20. 11. 2010 13:05

Zdravím,
Potřebovala bych helpnout se slovní úlohou (užití sin a kos věty). Kdo má nápady, prosím pomožte =)

V.a)Pasažeři říčního parníku viděli most nad hladinou řeky nejprve pod výškovým úhlem 39°a poté co připluji
o 100 m blíže viděli most pod výškovým úhlem 48°. Jak vysoko byl most nad řekou?

jelena · 20. 11. 2010 13:48

↑ barca.pilar:

Zdravím,

nevkládej, prosím, otázku do vyřešeného tématu a založ si své vlastní nové téma - viz pravidla. Děkuji.

Pro zakreslení situace pomůže obrázek od Ivany (děkuji autorce) Budeš uvažovat 2 pravoúhlé trojúhelníky s jednou odvesnou stejnou (výška mostu).

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2010 22:15

trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#2 11. 05. 2010 22:42

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#3 11. 05. 2010 23:05

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#4 11. 05. 2010 23:12 — Editoval frank_horrigan (11. 05. 2010 23:26)

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#5 11. 05. 2010 23:16 — Editoval Arcasil (11. 05. 2010 23:44)

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#6 11. 05. 2010 23:17 — Editoval Chrpa (13. 05. 2010 10:37)

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#7 11. 05. 2010 23:20

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#8 11. 05. 2010 23:24

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#9 12. 05. 2010 00:46

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#10 12. 05. 2010 17:11

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#11 20. 11. 2010 13:05

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

#12 20. 11. 2010 13:48

Re: trigonometrie ( sinova, kosinova věta )

Zápatí