Matematické Fórum

rddior · 12. 05. 2010 12:30

Zdravím,
mohli byste mi poradit s příkladem:

S parametry pracovat umím, tady jen nevím jak to upravit.
Děkuji za rady.

Cheop · 12. 05. 2010 13:01

↑ rddior:
$p^2 x^2-x^2+2px+1=0\nlx^2(p^2-1)+2px+1=0\nlx_{1,2}=\frac{-2p\pm\sqrt{4p^2-4(p^2-1)}}{2(p^2-1)}\nlx_{1,2}=\frac{-p\pm\,1}{p^2-1}$ - úpravou:
$x_1=-\frac{1}{p-1}\nlx_2=-\frac{1}{p+1}$
Podmínky:
$p\ne\,\pm\,1$

Mathe · 12. 05. 2010 13:09

↑ Cheop:
S řešením v zásadě souhlasím, ale nemělo by se u takovéto param. rovnice nejdříve zkusit, jestli nepřejde v lineární (pro p=1), pak:
$p=1 \rightarrow 2x+1=0\nlx=\frac{-1}{2}$

Cheop · 12. 05. 2010 13:13 — Editoval Cheop (12. 05. 2010 13:14)

↑ Mathe:
Právě když bude $p=\pm\,1$ pak to nebude rovnice kvadratická, ale lineární
Opravdu nevím co po nás tazatel chce. On zřejmě nenapsal celé zadání.
Já to řešil pro takové p, aby to zůstalo rovnicí kvadratickou.

Mathe · 12. 05. 2010 13:26 — Editoval Mathe (12. 05. 2010 13:28)

Parametrické rovnice chápu tak, že za parametr dosazuji libovolné číslo, které mám dovolené. Nevidím tedy důvod, proč bych nemohl za parametr dosadit $\pm1$ .
Napíši zde moje řešení:
$p^2x^2-x^2+2px+1=0 \nl I.\nlp=1 \nl2x+1=0\nlx=-\frac{1}{2}\nlII.\nlp\neq1 \nlD=0\nlD=4p^2-4(p^2-1)\nlD=4\nlx_{1,2}=\frac{-2p \pm2}{2(p^2-1)\nl\nlx_{1,2}=\frac{p \pm1}{p^2-1}}$
A do té rovnice co je jako poslední již dosazuji za parametr libovolné číslo, kromě $\pm1$ (z podmínek).

rddior · 12. 05. 2010 13:27

Celé zadání:
Kvadratická rovnice s parametrem: Řešte rovnici s nenámou x a parametrem p

Mathe · 12. 05. 2010 13:28

↑ rddior: A nějáké výsledky k tomu nejsou ?

rddior · 12. 05. 2010 13:29

↑ Mathe: právě že výsledek nemám, jenom zadání...

Rumburak

↑ rddior:↑ Mathe: ↑ Cheop:

Součástí řešení rovnic s parametrem by obecně měla být diskuse, při hodnocení (v písemce a pod.) se na tuto formální stránku
klade docela důraz.

V zadání se neříká, má-li tato rovnice být nutně kvadratická, proto je potřeba do diskuse zahrnout i případy, kdy kvadratická není.

Postupoval bych takto [ kolegovi Cheopovi se omlouvám za "zcizení" částí jím napsaného textu :-) ]:

$p^2 x^2-x^2+2px+1=0\nlx^2(p^2-1)+2px+1=0$

I. Pro $p \in \{1, -1\}$ jde o lineární rovnici $2px+1=0$ s kořenem $x = -\frac{1}{2p}$ .

II. Pro $p \notin \{1, -1\}$ jde o rovnici kvadratickou s diskriminantem $D = 4p^2-4(p^2-1) = 4 > 0$ ,
která má dva různé reálné kořeny

$x_{1,2}=\frac{-2p\pm\sqrt{D}}{2(p^2-1)} = ... =\frac {1}{p\mp 1}$ .