Matematické Fórum

harryharry · 11. 05. 2010 21:23

Dobrý den,

Prosím o pomoc při řešení těchto příkladů :

a) Určete, kolika způsoby lze na černá políčka šachovnice 8x8 rozmístit 12 b (nerozlišitelných) a 12 č figurek (nerozlišitelných) tak, aby toto rozmístění bylo symetrické podle středu šachovnice.

b) Ve tvaru a+bi vyjádřete číslo $( \sqrt3 - i)^5$ - vím jak se příklad počítá, ale nevím, jak ho dostat do konečného výsledku $-16\sqrt3 - 16i$ Celkově si nevím rady jak se zbavit i^n

Předem děkuji.

Mathe · 11. 05. 2010 21:33 — Editoval Mathe (11. 05. 2010 21:40)

Binomický rozvoj je popsán zde: http://web.quick.cz/koci.senior/Binom%20veta.htm
Při zbavováníse $i^n$ je potřeba vědět, že: $i^2=-1\nli^3=-i\nli^4=1$ a tímto se zbavit všech mocnin.

Jsi si jist výsledkem ? Mě vyšlo $7\sqrt{3}-7i$ ale samozřejmě můžu někde dělat chybu.

frank_horrigan

↑ harryharry:

S tou imaginární složkou ti to ještě trochu zobecním, kolega Mathe ti udělal první čtyři mocniny, to ti opakovat nemusim, ale tento postup se periodicky opakuje , tedy $i^5 = i^2 =-1$ , $i^6=i^3= -i$ , $i^7=i^4 = 1$ , $i^8 = i^1 = i$ atd. tedy, jakoukoli mocninu imaginární složky si poděl 4, a jeho modulo (zbytek po celočíselném dělení) je roven právě výše uvedénu předpisu :)

harryharry · 12. 05. 2010 13:35

Děkuji za odpovědi.

Mathe : výsledkem si jistý nejsem, ale z učebnice jsem ho opsal dobře :-)

Nutně prosím o pomoc s dalším příkladem. Bohužel neznám přesné zadání, protože jsem ho ztratil.
Mělo by to být zhruba takto : Zjistěte, který člen binomického rozvoje výrazu $(\frac{2}{c^2}+\sqrt c)^12$ obsahuje výraz $\sqrt[]{1/c^3}$ přepis : (2/c^2 + odmocnina "c")^12 ; odmocnina "1/c^3"

zdenek1 · 12. 05. 2010 14:31

↑ harryharry:
Takže někde bude člen typu ${12\choose k}\left(\frac2{c^2}\right)^{12-k}(\sqrt c)^k=neco\cdot c^{-\frac32}$
Spočítáme jenom exponenty
$c^{2k-24+\frac k2}=c^{-\frac32}$
$2k-24+\frac k2=-\frac32$
$k=9$
Takže to bude 10. člen

harryharry · 12. 05. 2010 14:45

Mohu poprosit o komentář k postupu mezi krokem 1 a 2? Jsem z toho trochu zmatený.

harryharry · 12. 05. 2010 16:06

Narazil jsem na příklad, s kterým si nevím rady. : (už je to opravdu poslední, který z učebnice nechápu)

Knihovna má pět regálů, do každého se vejde 20 knih. Určete, kolika způsoby lze umístit do knihovny 20 knih. Výsledek :

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Mathe · 12. 05. 2010 16:26

Napadá mě pouze to, že v knihovně mám 100 míst a na ně musím umístit 20 knih. Takže bych asi měl vybírat 20 příznivých jevů (míst) ze 100 možných.

gadgetka · 12. 05. 2010 16:28

Úloha 3.35:
http://carolina.mff.cuni.cz/~jana/kombi … 3ulohy.htm

jarrro · 12. 05. 2010 16:30

↑ harryharry:nakresli si to ako $.|.|.|.|.$ bodky sú ti regály teda máš 24 vecí z ktorých 20 je jedného druhu a 4 druhého zoradiť do postupnosti pričom tie 4 veci sú nerozlíšitľné a tých 20 je rozlíšiteľných teda výsledok je počet permutácii z 24 prvkov s opakovaním krát počet prehodení kníh teda $\frac{24!}{20!4!}\cdot 20!=\frac{24!}{4!}$

harryharry · 12. 05. 2010 16:34

Já se zasekl ve fázi 24!/4!*20! a nevěděl jak dál :-)

Mnohokrát všem děkuji za pomoc při řešení. Zbytek příkladů je jednoduchý, snad mi to při zítřejší čtvrtletce bude stačit :-) Uděluji +

harryharry · 12. 05. 2010 17:22

Zpátky k příkladu b) v prvním příspěvku -> také mi vychází úplně jinak... Jak upravíte (-i^5)? 1? a (-i^3)? i?... Pokud ano, tak je v řešení chyba...

jelena · 12. 05. 2010 17:39

harryharry napsal(a):
Zpátky k příkladu b) v prvním příspěvku ->

Rozuměno!

mně vychází stejně, můžeš překontrolovat tak:

$( \sqrt3 -\mathrm{ i})^5=$(\sqrt3 - \mathrm{i})^2$^2\cdot ( \sqrt3 - \mathrm{i})$

$(-\mathrm{i}^5)=-\mathrm{i}$
$(-\mathrm{i}^3)=\mathrm{i}$

V čem je problém? Děkuji.

harryharry · 12. 05. 2010 20:05

Jsem trochu pomalejší... už mi to konečně došlo :-) Zapomněl jsem, že než substituji "i", musím nejdříve určit znamínko podle exponentu (lichý -; sudý+)

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2010 21:23

Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#2 11. 05. 2010 21:33 — Editoval Mathe (11. 05. 2010 21:40)

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#3 11. 05. 2010 21:46 — Editoval frank_horrigan (11. 05. 2010 21:46)

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#4 12. 05. 2010 13:35

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#5 12. 05. 2010 14:31

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#6 12. 05. 2010 14:45

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#7 12. 05. 2010 16:06

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#8 12. 05. 2010 16:26

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#9 12. 05. 2010 16:28

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#10 12. 05. 2010 16:30

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#11 12. 05. 2010 16:34

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#12 12. 05. 2010 17:22

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

#13 12. 05. 2010 17:39

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

harryharry napsal(a):

#14 12. 05. 2010 20:05

Re: Kombinatorika - Skupiny s opakováním, binomický rozvoj

Zápatí